23. Производные высших порядков
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a; b]. Значение производной f'(x), вообще говоря, зависит от x, т.е. производная f'(x) представляет собой тоже функцию переменной x. Пусть эта функция также имеет производную. Дифференцируя ее, получим так называемую вторую производную от функции f(x).
|
|
Пусть y = f(x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде |
Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f:
Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как
Для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие формулы:
Пример 1 |
|
Найти y'', если . Решение. Возьмем первую производную дифференцируя функцию как произведение.
Теперь найдем производную второго порядка
|
26. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.
Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или. Тогда, если существует предел отношения производных этих функций, то существует и предел отношения самих функцийf(x)/g(x) при x→а, причем
(1) |
Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.
- I. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
- 1. Декартовы координаты на плоскости. Операции над векторами.
- 2. Два определения скалярного произведения.
- 3. Прямая на плоскости и различные формы ее представления.
- 4. Расстояние от точки до прямой на плоскости
- 5. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- 6. Декартовы координаты в пространстве. Задача о делении отрезка в данном отношении.
- 7. Операции над векторами в пространстве.
- 8. Векторное произведение и его свойства
- 9.Смешанное произведение и его свойства
- 11.Расстояние от точки до плоскости.
- 16. Расстояние между прямой и плоскостью, между двумя прямыми
- 17.. Системы координат (декартовы, полярные, цилиндрические, сферические).
- II. Линейная алгебра}
- 1.Матрица,примеры и операции над матрицей.
- 2. Алгебра матриц (сложение, умножение на число, умножение матриц, линейная комбинация, транспонирование)
- 3. Подстановки, транспозиции и их свойства.
- 4 Определитель матрицы. Примеры применения.
- 5.Свойства определителя
- 6.Свойства определителей
- 1)Обратная матрица
- 2)Теорема об определителе произведения матриц
- 9. Методы обращения матрицы.
- 10. Ранг матрицы и его свойства.
- 11. Системы линейных уравнений. Теорема Кронеккера-Капелли.
- 12. Линейная зависимость векторов. Базис n - мерного пространства
- 13. Системы линейных уравнений. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.
- 14Системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- 15. Собственные векторы и собственные значения матрицы.
- 16.Ортонормированные системы векторов и их свойства
- 17 Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
- 18. Матрица линейного преобразования координат.
- 20. Классификация кривых второго порядка.
- 21. Классификация поверхностей второго порядка.
- III. Дифференциальное исчисление
- 2.Последовательности.
- 3.Предел последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- 4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
- 5. Свойства пределов последовательности, связанные с арифметическими операциями.
- 6.Предел функции. Свойства предела функции в точке
- 7Основные теоремы о пределах. Арифметические операции над пределами.
- 8.Первый замечательный предел
- 9.Второй замечательный предел
- 10. Бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых.
- 11. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке.
- Комментарии
- Точки разрыва
- Устранимые точки разрыва
- [Править] Точки разрыва первого и второго рода
- Свойства Локальные
- [Править] Глобальные
- 12. Асимптоты вертикальные и горизонтальные.
- 13. Комплексные числа и действия над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- 14.Предел последовательности комплексных чисел.
- 15.Непрерывность сложных и обратных функций
- 17.Непрерывность функции на отрезке
- 18. Производная функции в точке, ее геометрический смысл. Сделай пожалуста и этот вопрос.
- 19.Свойства производной функции.
- 23. Производные высших порядков
- 24.Теорема Ролля.
- Доказательство
- Следствия
- 1. Теорема Ролля
- 27. Формула Тейлора.
- 28. Применение производной для исследования монотонности функции.
- 29. Минимумы и максимумы функции. Необходимые условия экстремума.
- 30. Достаточные условия экстремума.
- 31. Асимптоты вертикальные и наклонные
- 32. Выпуклость. Точки перегиба
- 33. Общая схема исследования функции.