29. Минимумы и максимумы функции. Необходимые условия экстремума.

Экстре́мум (лат.extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функциина заданноммножестве. Точка, в которой достигается экстремум, называетсяточкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализевыделяют также понятиелокальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Определение 1. Точку х =х₀ называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х =х₀) выполняется неравенство: f(х)>f(х0).

Определение 2. Точку х = х₀ называют точкой максимума функции у=f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой, кроме самой точки х = х₀, выполняется неравенство: f(х)<f(х₀).

Необходимое условие экстремума

         Функция z = f ( x, y) может иметь экстремум лишь в тех точках, в которых обе частные производные обращаются в ноль или перестают существовать.    Действительно, фиксируя попеременнох = х₀ или у = у₀, получим попеременно функцию одного аргумента, для которой воспользуемся необходимым условием экстремума функции одного переменного.    Эта теорема не является достаточной, но позволяет находить точки, «подозрительные на экстремум».

Теорема 4. Если функция у = f(х) имеет экстремум в точке х = х₀, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.