3.Предел последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

В математике пределом последовательности называют объект ,к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.

Определение. Число  А  называется пределом последовательности  a₁,  a₂,  …, если, начиная с некоторого места, все члены этой последовательности будут сколь угодно мало отличаться от  А.

Обозначение:  

Примеры. Вычислим пределы некоторых последовательностей. 1.

Ясно, что пределом этой последовательности будет число  0.  Действительно, взяв произвольное число  > 0, мы можем найти такой номер последовательности, после которого каждый член  a_nбудет меньше(т. е.).  Действительно,так что достаточно взять любое n,  большее числаИтак,

2.  при любом  k > 0.  Действительно, мы можем решить неравенствоСправа стоит вполне конкретное положительное число, которое указывает нам, с какого места числостанет меньше наперед заданного числа> 0.

Теорема Больцано – Вейерштрасса.

Эта теорема доказана чешским математиком Больцано в 1817 году,позже она была независимо получена Вейерштрассом.

Теорема: Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Теорема справедлива как для действительных, так и для комплексных чисел.

Пусть задана произвольная последовательность действительных чисел  . Выберем из нее бесконечное множество элементов с номерами . Тогда получим новую последовательность , которая называется подпоследовательностью последовательности . Таких подпоследовательностей можно выделить из данной последовательности бесконечное множество.