13. Комплексные числа и действия над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Комплексным числомzназывается пара (x,y) действительных чиселxиy. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом:

1) два комплексных числа z₁= (x₁,y₁) иz₂= (x₂,y₂) называютсяравными, еслиx₁=x₂иy₁=y₂;

2) суммойкомплексных чиселz₁иz₂называется комплексное числоzвида

z= (x₁+x₂,y₁+y₂);

3) произведениемкомплексных чиселz₁иz₂называется комплексное число

z= (x₁x₂-y₁y₂,x₁y₂+x₂y₁);

4) множество комплексных чисел , отождествляется с множеством действительных чиселR.

Разностьюкомплексных чиселz₁иz₂называется комплексное числоzтакое, чтоz₂+z=z₁, откуда находимz=z₁-z₂= (x₁-x₂,y₁-y₂).

Частнымкомплексных чиселz₁иz₂называется комплексное числоzтакое, что. Отсюда находим

Комплексное число (0, 1) обозначается символом i= (0, 1). Тогда, т. е.i²= -1. Произвольное комплексное числоzможно записать в виде

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy.

Эта запись называется алгебраической формойкомплексного числа. Комплексное числоназываетсясопряженнымпо отношению к комплексному числуz= (x,y) =x+iy.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть . Положим,.  Из рисунка очевидно, что

Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа.