11. Системы линейных уравнений. Теорема Кронеккера-Капелли.

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений видаa11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1,(1)a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2,. . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm. Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной. Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных. Решение системы (1) — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все ее уравнения в тождества. Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения. Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений. Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств: c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2). Совместная система вида (1) называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Теорема Кронекера-Капелли— критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.  Теорема Кронекера-Капелли применяется при исследованиях систем алгебраических уравнений (без непосредственного решения системы). В результате исследования должна быть записана эквивалентная система алгебраических уравнений с минимальным числом уравнений.