4.5.1. Потоки с дискретной компонентой

Основной задачей исследования случайных потоков однородных событий является проблема нахождения распределения вероятностей

P(m, t) = P{m(t) = m},

которую для рассматриваемых потоков можно решить, определив распределение вероятностей двумерного случайного процесса {k(t), m(t)}, то есть

P(k, m, t) = P{k(t) = k, m(t) = m},

откуда найти одномерное маргинальное распределение

.

Так как процесс {k(t), m(t)} является двумерной цепью Маркова, то для распределения вероятностей P(k, m, t) нетрудно составить систему уравнений Колмогорова, решив которую, найдём распределение P(k, m, t).

Приведём примеры таких систем уравнений для различных классов потоков.

1. Для MMP-потока запишем равенства

,

откуда получим

(4)

2. Для синхронного MAP-потока аналогично запишем

откуда получим

(5)

3. Для рекуррентного PH-потока с репродуктивным состоянием k = 0 можно записать

следовательно, система уравнений Колмогорова в этом случае имеет вид

(6)

4. Для полумарковского PH-потока с множеством S репродуктивных состояний запишем следующие равенства

откуда получим

(7)

5. Для общего MAP-потока запишем следующие равенства

откуда, положив d_kk = 0, получим

(8)

Выбирая в этом уравнении соответствующие значения параметров λ_k и , получим все ранее составленные уравнение Колмогорова для вышеперечисленных потоков.

Совершенно аналогично нетрудно получить уравнение Колмогорова для BMAP-потока.