4.1. Модулированные пуассоновские потоки (mmp-потоки)

Многочисленные исследования реальных потоков заявок, требований, сообщений, выполненные зарубежными и отечественными специалистами в различных областях, позволили сделать вывод о существенной неадекватности классических моделей потоков (пуассоновских и рекуррентных) реальным данным. Поэтому актуальной является задача существенного расширения множества математических моделей случайных потоков однородных событий, а также развития методов их исследования.

Рассмотрим класс модулированных пуассоновских потоков.

Пусть задан некоторый случайный процесс k(t) и множество неотрицательных чисел λ_k ≥ 0.

Определение. Случайный поток однородных событий будем называть модулированным пуассоновским (MP-потоком), управляемым случайным процессом k(t), если выполнены условия

P{m(t + Δt) = m +1| m(t) = m, k(t) = k} = λ_kΔt + ο(Δt),

P{m(t + Δt) > m +1| m(t) = m, k(t) = k} = ο(Δt).

Среди множества MP-потоков выделим класс марковских модулированных пуассоновских потоков (MMP-потоков).

Определение. Модулированный пуассоновский поток будем называть MMP-потоком, если управляющий процесс k(t) является цепью Маркова с непрерывным временем.

Можно рассмотреть и другие классы MP-потоков, управляемых случайными процессами из других классов.

В литературе для MP-потоков также встречается название дважды стохастические потоки.

4.2. MAP-потоки

Значительное разнообразие потоков определяется множеством MAP-потоков (Markovian Arrival Process). Их рассмотрение начнём с класса синхронных MAP-потоков.

Пусть задана цепь Маркова k(t), определяемая матрицей Q её инфинитезимальных характеристик .

Определение. Случайный поток однородных событий будем называть синхронным MAP-потоком, если моменты наступления его событий совпадают с моментами изменения состояний управляющей этим потоком цепи Маркова k(t).

Выделим некоторое состояние цепи Маркова , которое будем называть репродуктивным.

Определение. Случайный поток однородных событий будем называть рекуррентным PH-потоком (рекуррентным потоком фазового типа), если его события наступают тогда и только тогда, когда управляющая цепь попадает в репродуктивное состояние.

Очевидно, что в таком потоке длины интервалов стохастически независимы и одинаково распределены, поэтому рассматриваемый поток является рекуррентным. А так как длины интервалов имеют фазовое или PH-распределе-ние, то использованное для него название оправдано.

Теперь выделим некоторое подмножество S состояний управляющей цепи. Элементы s ϵ S будем называть репродуктивными состояниями. Дадим следующее определение.

Определение. Случайный поток однородных событий будем называть полумарковским PH-потоком (полумарковским потоком фазового типа), если его события наступают тогда и только тогда, когда управляющая цепь попадает в любое репродуктивное состояние.

Определённые выше потоки, принадлежат достаточно широкому классу общих MAP-потоков.

Для определения общего MAP-потока, рассмотрим MMP-поток, и будем полагать, что для любых k₁ ≠ k₂ заданы вероятности того, что в момент перехода цепи Маркова из состояния k₁ в состояние k₂ наступает ещё одно событие, а с вероятностью событие в этот момент не наступает. Определённый таким образом случайный поток однородных событий будем называть общим MAP-потоком или просто MAP-потоком.

Для того, чтобы вернуться к MMP-потоку достаточно в MAP-потоке положить все .

Если в MAP-потоке положить все , а вероятности задать в виде

то получим полумарковский PH-поток.

Если в предыдущем случае множество S включает одно единственное состояние, то получаем рекуррентный PH-поток.

Все вышеперечисленные потоки являются ординарными. Определим достаточно общую модель неординарного потока.