1. Теорема Ролля
Знание производной некоторой функции позволяет судить о характерных особенностях в поведении этой функции. В основе всех таких исследований лежат некоторые простые теоремы, называемые теоремами о среднем в дифференциальном исчислении.
Начнем рассмотрение таких теорем с теоремы, связываемой с именем французского математика Ролля (1652–1719).
Теорема 1.1. Если функция непрерывна на отрезке, дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах отрезка,обращается в ноль, то существует, по крайней мере, одна точка, в которой.
Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке , то, согласно свойству 11.1.1, она должна достигать хотя бы один раз на этом отрезке своего минимумаи максимума(рис. 1.1).
Если , функция постоянна, то есть. Но в этом случаедля любого.
В общем случае , и хотя бы одно из этих чисел не равно нулю. Предположим для определенности, что. Тогда существует точка, в которой.
Рис. 1.1
Так как рассматриваемое значение является максимальным, то для него справедливо, чтодляи.
Рассмотрим пределы
для
и
для .
Так как оба предела равны производной функции в одной и той же точке, то они равны между собой. Значит, из одновременностииследует, что, что и требовалось доказать.
Следует отметить, что данная теорема справедлива и в том случае, когда на концах отрезка функция не обращается в ноль, но принимает равные значения. Доказательство проводится аналогично.
Геометрический смысл данной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось в двух точках,или принимает в них равные значения, то, по крайней мере, в одной точке междуикасательная к кривой параллельна оси.
Необходимо отметить, что если не во всех точках у рассматриваемой функции существует производная, то теорема может не выполняться. Это касается, например, функции(рис. 1.2):
Рис. 1.2
Данная функция непрерывна на отрезке и обращается в ноль на его концах, но ни в одной точке внутри отрезка производная не равна нулю.
26. Теорема Лагранжа. Результаты теоремы Ролля используются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу (1736–1813).
Теорема. Если функция непрерывна на отрезкеи дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка, в которой.
Доказательство. Рассмотрим график функции (рис. 2.1).
Проведем хорду, соединяющую точки и, и запишем ее уравнение. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки на плоскости, получим:
,
откуда:
Рис. 2.1
и .
Составим теперь вспомогательную функцию, вычтя из уравнения кривой уравнение хорды:
.
Полученная функция непрерывна на отрезкеи дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычислениев точкахипоказывает, что. Значит, функцияна отрезкеудовлетворяет требованиям теоремы Ролля. Но в этом случае существует такая точка, в которой.
Вычислим производную функции :
.
Согласно теореме Ролля в точке производная, то естьи
,
что и требовалось доказать.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, притеорема переходит в теорему Ролля.
Теорему Лагранжа часто записывают в следующем виде:
,
то есть приращение функции равно приращению аргумента, умноженному на производную функции в некоторой внутренней точке. В связи с этим теорему Лагранжа называют также теоремой о конечных приращениях.
- I. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
- 1. Декартовы координаты на плоскости. Операции над векторами.
- 2. Два определения скалярного произведения.
- 3. Прямая на плоскости и различные формы ее представления.
- 4. Расстояние от точки до прямой на плоскости
- 5. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- 6. Декартовы координаты в пространстве. Задача о делении отрезка в данном отношении.
- 7. Операции над векторами в пространстве.
- 8. Векторное произведение и его свойства
- 9.Смешанное произведение и его свойства
- 11.Расстояние от точки до плоскости.
- 16. Расстояние между прямой и плоскостью, между двумя прямыми
- 17.. Системы координат (декартовы, полярные, цилиндрические, сферические).
- II. Линейная алгебра}
- 1.Матрица,примеры и операции над матрицей.
- 2. Алгебра матриц (сложение, умножение на число, умножение матриц, линейная комбинация, транспонирование)
- 3. Подстановки, транспозиции и их свойства.
- 4 Определитель матрицы. Примеры применения.
- 5.Свойства определителя
- 6.Свойства определителей
- 1)Обратная матрица
- 2)Теорема об определителе произведения матриц
- 9. Методы обращения матрицы.
- 10. Ранг матрицы и его свойства.
- 11. Системы линейных уравнений. Теорема Кронеккера-Капелли.
- 12. Линейная зависимость векторов. Базис n - мерного пространства
- 13. Системы линейных уравнений. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.
- 14Системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- 15. Собственные векторы и собственные значения матрицы.
- 16.Ортонормированные системы векторов и их свойства
- 17 Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
- 18. Матрица линейного преобразования координат.
- 20. Классификация кривых второго порядка.
- 21. Классификация поверхностей второго порядка.
- III. Дифференциальное исчисление
- 2.Последовательности.
- 3.Предел последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- 4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
- 5. Свойства пределов последовательности, связанные с арифметическими операциями.
- 6.Предел функции. Свойства предела функции в точке
- 7Основные теоремы о пределах. Арифметические операции над пределами.
- 8.Первый замечательный предел
- 9.Второй замечательный предел
- 10. Бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых.
- 11. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке.
- Комментарии
- Точки разрыва
- Устранимые точки разрыва
- [Править] Точки разрыва первого и второго рода
- Свойства Локальные
- [Править] Глобальные
- 12. Асимптоты вертикальные и горизонтальные.
- 13. Комплексные числа и действия над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- 14.Предел последовательности комплексных чисел.
- 15.Непрерывность сложных и обратных функций
- 17.Непрерывность функции на отрезке
- 18. Производная функции в точке, ее геометрический смысл. Сделай пожалуста и этот вопрос.
- 19.Свойства производной функции.
- 23. Производные высших порядков
- 24.Теорема Ролля.
- Доказательство
- Следствия
- 1. Теорема Ролля
- 27. Формула Тейлора.
- 28. Применение производной для исследования монотонности функции.
- 29. Минимумы и максимумы функции. Необходимые условия экстремума.
- 30. Достаточные условия экстремума.
- 31. Асимптоты вертикальные и наклонные
- 32. Выпуклость. Точки перегиба
- 33. Общая схема исследования функции.