4.7.1. Исследование модели map-потока

Основное уравнение для MAP-потока имеет вид

. (12)

Для нахождения его частного решения определим начальное условие в виде

H(u, 0) = R , (13)

где R – вектор стационарного распределения вероятностей значений цепи Маркова k(t), управляющей MAP-потоком.

Стационарное распределение R является решением системы уравнений

RQ = 0, RE = 1,

где E – единичный вектор-столбец.

Решение уравнения (12) методом преобразования Фурье по переменной t

Применяя преобразование Фурье по переменной t, найдём решение задачи (12-13), которое однозначно определяет распределение вероятностей

P(m, t) = P(m(t) = m)

числа событий, наступивших в MAP-потоке за время t.

Докажем следующее утверждение.

Теорема 1. Распределение вероятностей

P(m, t) = P(m(t) = m)

числа событий, наступивших в MAP-потоке за время t, определяется следующим равенством

. (14)

Доказательство.

Преобразование Фурье вектор функции H(u, t) по переменной t обозначим

, (15)

тогда

.

Выполнив преобразование Фурье по t левой и правой частей уравнения (12), получим равенство

,

из которого следует, что

. (16)

В силу определения

,

поэтому

, (17)

где

P(m, t) = P(m(t) = m).

Из (15) и (17) получим

(18)

Из (16) можно записать

.

Из этого равенства и равенства (18) следует, что для любых значений выполняются равенства

,

определяющие преобразования Фурье по t от функций P(m, t), поэтому, выполнив обратное преобразование Фурье по переменной α, получим для распределения вероятностей P(m, t) явные выражения в квадратурах

,

совпадающее с равенством (14).

Теорема доказана.