1.2 Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

Понятие производной

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х₀ - произвольная точка этого промежутка

Дадим аргументу x приращение ?x, тогда функция y = f(x) получит приращение ?y = f(x + ?x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ?y / ?x при ?x > 0, называется производной от функции f(x).

y(x)=

Геометрический смысл производной состоит в том, что она равна угловому коэффициенту касательной. Рассмотрим график функции (рис.). Видно,

что , т.е. это отношение равно угловому

коэффициенту секущей mm. Если , то секущая,

поворачиваясь вокруг точки М, в пределе переходит в

касательную , так как касательная является предельным

положением секущей, когда точки пересечения сливаются.

Таким образом, .

Уравнение касательной

, где - координаты точки касания, а - текущие координаты точки касательной прямой.

Физический смысл производной заключается в скорости изменения функции.

Пусть s = s(t) -- закон прямолинейного движения. Тогда v(t₀) = s(t₀) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t₀. Вторая производная a(t₀) = s(t₀) выражает мгновенное ускорение в момент времени t₀.Вообще производная функции y = f(x) в точке x₀ выражает скорость изменения функции в точке x₀, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x).