Похожие главы из других работ:
Действия над векторами
Задача 1. Для любых действительных чисел докажите неравенство:
?
Доказательство: Пусть
= (х, у,z), = (; ; ) · = . ¦¦= , ¦¦= ¦¦·¦¦= .
На основании неравенства • ?¦¦• ¦¦ имеем ? . Что и требовалось доказать.
Задача 2...
Линейные и квадратичные зависимости, функция х и связанные с ними уравнения и неравенства
Сразу же выпишем решения в виде готового правила:
1) ах > b, если a > 0, то x >
если a < 0, то x <
если a = 0 и b < 0, то x - любое число,
если a = 0 и b0, то решений нет.
2) ах < b, если a > 0, то x <
если a < 0, то x >
если a = 0 и b 0, то решений нет,
если a = 0 и b>0...
Линейные и квадратичные зависимости, функция х и связанные с ними уравнения и неравенства
Опираясь на иллюстрации...
Основные методы решения неравенств
Вместо знака < может стоять любой другой знак: ?, >, ?.
Напомним, что:
1. Если , то
Примечание. Если , то неравенство решений не имеет.
2. Если , то
Примечание. Если , то неравенство решений не имеет; неравенство равносильно уравнению .
3...
Основные методы решения неравенств
Суть решения неравенств с модулями методом введения новой переменной поясним на примерах.
Пример 1. Решить неравенство
Решение. Введем подстановку и запишем неравенство относительно переменной : . Решив его, получим: или...
Применение неравенств при решении олимпиадных задач
Неравенство Йенсена
Задача:
Пусть a1,…, an > 0, . Доказать .
Решение:
Записываем неравенство Йенсена для f(x)=x2, mi=n. Получаем:
, , ,
что и требовалось доказать.
Неравенство Коши-Буняковского
Задача:
Пусть a+b+c=1. Доказать, что...
Применение производной к решению задач
При доказательстве неравенств методами дифференциального исчисления используются теоремы о монотонности функций.
Пример 18. Докажем, что для всех справедливо неравенство .
Решение. Составим вспомогательную функцию , где...
Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач
Как правило, навыки решения и доказательства неравенств, за исключением квадратичных, формируются на более низком уровне, чем уравнений. Эта особенность имеет объективную природу: теория неравенств сложнее теории уравнений. Тем не менее...
Производная и ее применение для решения прикладных задач
При доказательстве неравенств или для сравнения двух чисел полезно перейти к общему функциональному неравенству.
Пример 1.
Сравнить и .
Решение.
Рассмотрим функцию .
Так как
,
,
То функция возрастает на интервале .
Таким образом,
И...
Системы линейных неравенств
2. Построение фундаментальной системы решений для системы, состоящей из одного неравенства;
3. Существование и способ построения фундаментального набора решений;
4. Решение неоднородной системы линейных неравенств.
ГЛАВА I...
Системы линейных неравенств
Из курса алгебры известен метод решения системы линейных уравнений путем последовательного уменьшения числа неизвестных. Для системы, содержащих три неизвестных x, y, z сущность этого метода можно описать следующим образом...
Системы линейных неравенств
Теперь не составляет труда решить аналогичную задачу для произвольной, т.е. неоднородной системы неравенств.
Пусть
(1)
- произвольная система линейных неравенств...
Тригонометрические уравнения и неравенства
При решении тригонометрических неравенств вида , где --- одна из тригонометрических функций, удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записать ответ...
Тригонометрические уравнения и неравенства
Заметим, что если --- периодическая функция, то для решения неравенства необходимо найти его решения на отрезке, длина которого равна периоду функции . Все решения исходного неравенства будут состоять из найденных значений , а также всех...
Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании
Решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины часто гораздо удобнее решать не аналитически, а графически (особенно уравнения содержащие параметры).
Построение графиков вида , и
Отметим правило построения графика функции...