-разложение функций в ряд с помощью формулы Тейлора;

-приближенное решение уравнений методом проб, хорд и касательных;

-линеаризация алгебраических функций и многое другое.

3. Примеры решения прикладных задач

3.1 Исследование функций и построение их графиков

Пример 1

Исследовать и построить график функции

Решение.

1. Функция существует для всех .

2. Функция не является ни четной, ни нечетной,

так как

,

то есть и .

3. В точке х=0 функция имеет разрыв в точке х=0.

При этом

4. Находим производную: и приравниваем ее к нулю:

. Точка будет критической.

Проверим достаточные условия экстремума в точке . Так как знаменатель производной всегда положителен, то достаточно проследить за знаком числителя. Получаем: при и при . Следовательно, в точке функция имеет минимум, ее значение в точке .

5. Точек пересечения с осью ОY нет, так как данная функция не определена при х=0. Чтобы найти точки пересечения кривой с осью ОХ, нужно решить уравнение .

Тогда или .

Получим, что при функция убывает; х= y=0; функция убывает; при функция убывает; при х= функция имеет минимум y=3; при функция возрастает.

График данной функции представлен на рисунке.

Кривая, рассмотренная в этой задаче называется «Трезубец Ньютона».

3.2 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, решение прикладных задач (задач на оптимум)

Пример 1

Из бревна, имеющего радиус R, сделать балку наибольшей прочности.

Решение:

Составляем функцию, выражающую необходимое условие.

В данной задаче высота балки (представляющей собой прямоугольник, вписанный в окружность радиуса R и ширины х), равна . Поэтому прочность такой балки равна . При этом х изменяется от 0 до 2R.

Функция обращается в нуль при х=0 и х=2R и положительна между этими значениями. Значит она имеет максимум, лежащий между 0 и 2R. Но производная этой функции обращается в нуль на отрезке лишь при . Это и есть оптимальное значение ширины b балки. Высота h балки такой ширины равна и отношение равно . Именно такое отношение высоты вытесываемой балки к ее ширине предписывается правилами производства строительных работ.

Пример 2

Требуется построить открытый цилиндрический резервуар вместимостью . Материал имеет толщину d. Какими должны быть размеры резервуара (радиус основания и высота), чтобы расход материала был наименьшим?

Решение.

Радиус основания внутреннего цилиндра обозначим через х, высоту внутреннего цилиндра через h. Объем дна и стенки резервуара

С другой стороны, по условию , откуда

Подставляя в (*), находим

Полученную функцию нужно исследовать на экстремум при х>0:

Единственный положительный корень производной - это точка Она и дает решение задачи. При этом

3.3 Определение периода функции

Пример 1.

Является ли периодической функция ?

Решение

Воспользуемся следующим утверждением: если дифференцируемая в каждой точке числовой прямой функция имеет период Т, то ее производная также имеет период Т.

Предположим, что данная функция является периодической с периодом Т. Применяя формулу

,

получаем

где .

Имеем

Поскольку по предположению функция имеет период Т, то функция , а следовательно, и функция также имеют период Т.

Значит, и функция

Также имеет период Т. Отсюда следует, что существует число , , такое, что Т=. Аналогично показывается, что существует число , такое, что Т=.

Но тогда

т.е. число является рациональным, что неверно. Следовательно данная функция НЕ является периодической.

3.4 Нахождение приближенных значений функции

Пример 1.

Найти приращение и дифференциал функции в точке х=2 при и при . Найдите абсолютную и относительные погрешности, которые мы допускаем при замене приращения функции ее дифференциалом.

Решение

При х=2 и имеем

Абсолютная погрешность

Относительная погрешность то есть относительная погрешность будет около 4%.

При х=2 и имеем

Абсолютная погрешность а относительная погрешность то есть относительная погрешность будет уже около 0,4%.

Пример 2

Пользуясь понятием дифференциала функции вычислите приближенно изменение, претерпеваемое функцией при изменении х от значения 5 к значению 5,01.

Решение.

В данном случае будем считать х=5, а . Изменение функции

3.5 Нахождение величины угла между прямыми и кривыми.

Углом между графиками функций и в точке их пересечения называется угол между касательными к их графикам в этой точке (рис.).

Пример 1.

Найти угол между графиками функций и

в точке их пересечения (с положительной абсциссой).

Решение.

Абсциссы точек пересечения данных графиков удовлетворяют уравнению

И тем самым следующей системе:

Отсюда находим, что графики функций пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны 0 и 2. Найдем тангенсы углов наклона касательных к обоим графикам функций в точке с абсциссой, равной 2. Имеем

Отсюда и Так как , то уравнения касательных к графикам функций и в точке (2;2) соответственно имеют вид

и

т.е.

и

Следовательно величина угла между касательными удовлетворяют уравнению

и тем самым графики функций и в точке с абсциссой х=2 пересекаются под углом, равным

3.6 Разложение на множители и упрощение выражений.

Пример 1.

Разложить на множители выражение

.

Решение:

Считая х переменной величиной, рассмотрим функцию . Имеем .

Так как ,

то отсюда заключаем, что

.

Получаем , где С не зависит от х, но зависит от y и z.

Так как последнее равенство верно при любом х, то, полагая, например, в нем х=0 и учитывая, что , найдем .

Таким образом,

Итак, =.

Пример 2.

Упростить выражение

Решение

Считая х переменной величиной, рассмотрим функцию

Тогда, дифференцируя ее, имеем

.

Отсюда находим, что , где С не зависит от х, но может зависеть

от y и z. Полагая, например, х=0, получаем

.

Поскольку , то С=0.

Следовательно, .

3.7 Вычисление суммы

Пример 1.

Найти сумму

Решение:

Пусть .

Так как

,

, то

.

Поскольку есть сумма первых членов геометрической прогрессии со знаменателем х, , то

.

Так как , то

3.8 Сравнение чисел и доказательство неравенств

При доказательстве неравенств или для сравнения двух чисел полезно перейти к общему функциональному неравенству.

Пример 1.

Сравнить и .

Решение.

Рассмотрим функцию .

Так как

,

,

То функция возрастает на интервале .

Таким образом,

И, следовательно, <.

Пример 2.

Какое из чисел больше: или ?

Решение.

Рассмотрим функцию Так как и при то функция возрастает на множестве всех действительных чисел. Поэтому , т.е.

Пример 3.

Докажите, что при .

Доказательство:

Рассмотрим функцию при и .

При , .

Находим и :; ;

;

. В точке =6, то есть имеет минимум, равный . При функция убывает от до , а при , то есть функция возрастает. При , что и доказывает неравенство.

3.9 Решение неравенств

Пример 1.

.

Решение

Найдем участки возрастания и убывания функции . Производная этой функции равна . Так как дискриминант квадратного трехчлена является отрицательным числом и коэффициент при этого квадратного трехчлена больше нуля, то для каждого действительного х имеем неравенство .

Таким образом, функция является непрерывной и возрастающей на всей числовой прямой; поэтому ее график может пересекать ось ОХ только в одной точке. Учитывая, что , заключаем, что решениями данного неравенства являются все числа х из промежутка .

Пример 2.

Докажите неравенство (при ).

Доказательство.

При х=0 неравенство справедливо.

Рассмотрим функцию и найдем ее производную:

Производная обращается в нуль при

При то есть функция монотонно убывает. При то есть функция монотонно возрастает. При функция имеет минимум, равный нулю.

Таким образом, при значит .

Пример 3.

Доказать, что при имеет место неравенство

Решение.

Найдем участки возрастания и убывания функции

Так как то

при

при

при

Функция непрерывна на поэтому она возрастает на отрезке и убывает на промежутке Отсюда заключаем, что точка является точкой локального максимума функции (рис.).

Так как и то неравенство доказано.

3.10 Доказательство тождеств

Пример 1.

Решение

Рассмотрим функцию

.

При х=1 имеем . Пусть ; тогда

и

Поэтому следовательно, функция при является тождественно равной постоянной. Чтобы найти эту постоянную, вычислим, например, ; имеем:

.

Таким образом, данное тождество доказано для всех .

3.11. Решение уравнений

Пример 1.

Решение

Переписав данное уравнение в виде

, заметим, что его корнями являются абсциссы точек пересечения или касания графиков функций и .

Для выяснения взаимного расположения графиков этих функций найдем их точки экстремумов.

Так как , то эта функция достигает своего наименьшего значения, ровно 1, в точке х=1. Область существования функции состоит из всех х таких, что . Так как

то при ,

при ,

при .

Так как функция непрерывна на , то отсюда заключаем, что функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке . Следовательно, точка х=1 является наибольшим значением функции на ее области существования.

Таким образом, при любом

,

.

Следовательно уравнение имеет один единственный корень х=1.

Взаимное расположение графиков показано на рисунке.

3.12 Решение систем уравнений

Пример 1.

Решить систему уравнений

Решение.

Перепишем данную систему в виде

Из первого уравнения этой системы следует, что ее решениями могут быть такие пары чисел (х,y), для каждого из которых y>0. Тогда эти пары чисел должны удовлетворять неравенству х>y>0, что следует из второго уравнения системы. Пусть тогда из первого уравнения системы находим, что Подставляя во втором уравнении системы вместо х и вместо y, получаем

или

Так как

то уравнение имеет не более одного корня. Нетрудно заметить, что число t=1 является корнем. Отсюда находим, что решением данной системы может быть только пара чисел х=2 и y=1.

3.13 Отбор кратных корней уравнения

Применение производной позволяет не только убедиться в существовании кратных корней (если они есть), но и дать способ отобрать все кратные корни, отделив их от простых корней. Имеет место следующее утверждение:

Наибольший общий делитель многочленов и имеет своими корнями лишь корни многочлена , причем только те из них, которые имеют кратность не меньше 2. Каждый их этих кратных корней многочлена является корнем наибольшего общего делителя кратности на единицу ниже. Простые корни многочлена не являются корнями наибольшего общего делителя многочленов и .

Отсюда вытекает следующее правило для нахождения кратных корней уравнения:

1. Находим .

2. Находим наибольший общий делитель многочленов и .

3. Находим корни наибольшего общего делителя многочленов и .

Каждый из найденных корней наибольшего общего делителя многочленов и является корнем многочлена , причем кратность этого корня на единицу больше его кратности в наибольшем общем делителе.

Отметим, что если наибольший общий делитель многочленов и есть константа, то уравнение =0 не имеет кратных корней.

Пример 1.

Решить уравнение

.

Решение.

Рассмотрим многочлен

производная которого равна

Найдем наибольший общий делитель многочленов и .

Имеем

Рис.1. - наибольший общий делитель многочленов

Таким образом, наибольший общий делитель многочленов и равен х-1 (с точностью до постоянного множителя).

Так как х=1 является простым корнем наибольшего общего делителя, что число х=1 будет двукратным корнем данного уравнения, и, значит, многочлен делится без остатка на Разделив на , находим, что Следовательно, корни исходного уравнения- это числа и х=6 и только они.

3.14 Вычисление пределов функции с помощью правила Лопиталя

Раскрытие неопределенностей типа и . Пусть однозначные функции и дифференцируемы при причем производная не обращается в нуль.

Если и - обе бесконечно малые или бесконечно большие при т.е. если частное представляет в точке х= неопределенность типа или , то при условии, что предел отношения производных существует (правило Лопиталя). Правило применимо и в случае, когда .

Если частное вновь дает неопределенность в точке х= одного из двух упомянутых типов и и удовлетворяют всем требованиям, ранее сформулированным для и , то можно перейти к отношению вторых производных и т.д.

Пример 1.

Пример 2.

Вычислить (неопределенность типа

Приведя дроби к общему знаменателю, получим:

(неопределенность типа

Прежде чем применить правило Лопиталя, заменим знаменатель последней дроби эквивалентной ему бесконечно малой

Получим:

(неопределенность типа

По правилу Лопиталя

Далее, элементарным путем находим:

3.15 Решение физических задач, связанных с нахождением скорости, ускорения и т.д.

Пример 1.

Дано уравнение прямолинейного движения тела: , где S- путь, пройденный телом, м; t- время, с. Найдите скорость тела в момент времени t=1 c.

Решение.

Скорость это производная пути по времени. Значит:

Подставив значение времени получим:

Пример 2.

Точка движется по закону . Найти скорость и ускорение через 2 с после начала движения (движение считать прямолинейным).

Решение.

Скорость это производная пути по времени. Значит: .

Подставив значение времени получим

Пример 3.

Тело движется прямолинейно по закону Найти его кинетическую энергию через 5 с после начала движения, если масса тела 3 кг.

Решение.

Формула нахождения кинетической энергии: .

Найдем скорость тела. , .

Кинетическая энергия тела составит: .

3.16 Решение экономических задач

Пример 1.

Выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью:

р(q) = R(q) - C(q) = q² - 8q + 10

Решение:

р(q) = R(q) - C(q) = 2q - 8 = 0 > q_extr = 4

При q < q_extr = 4 > р(q) < 0 и прибыль убывает

При q > q_extr = 4 > р(q) > 0 и прибыль возрастает

При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.

Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей.

Пример 2.

Кривая спроса задана выражением , где - объем продаж; - цена товара в условных единицах. Объем продаж составляет 10 000. Определите, каким должно быть изменение цены товара, чтобы объем продаж возрос на 1%.

Решение.

Определим цену , соответствующую объему продаж

Для оценки изменения цены товара воспользуемся формулой приближенных вычислений По условию задачи составляет 1% от 10000 или 10000/100=100. Найдем значение

Тогда Таким образом, для увеличения объема продаж на 1% цена товара должна быть снижена приблизительно на 0,105 у.е.