3.17 Разложение функций в ряд с помощью формулы Тейлора

1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.(Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности).

2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х ? а.

Тогда между точками х и а найдется такая точка ?, что справедлива формула:

- это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:

называется остаточным членом в форме Лагранжа.

При получаем формулу Маклорена:

где ,

Пример 1.

Многочлен разложить по целым положительным степеням бинома х-2.

Решение.

Отсюда:

Следовательно, или

Пример 2.

Функцию разложить по степени бинома х+1 до члена, содержащего

Решение

для всех n, Следовательно ,

где

Пример 3

Разложить функцию в ряд Маклорена.

Решение.

Как известно, этот интеграл нельзя выразить через элементарные функции. Для отыскания разложения данного интеграла в ряд Маклорена необходимо разложить подынтегральную функцию в степенной ряд, а затем почленно проинтегрировать (степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, лежащем внутри промежутка сходимости, поэтому его можно проинтегрировать почленно).