3.13 Отбор кратных корней уравнения

Применение производной позволяет не только убедиться в существовании кратных корней (если они есть), но и дать способ отобрать все кратные корни, отделив их от простых корней. Имеет место следующее утверждение:

Наибольший общий делитель многочленов и имеет своими корнями лишь корни многочлена , причем только те из них, которые имеют кратность не меньше 2. Каждый их этих кратных корней многочлена является корнем наибольшего общего делителя кратности на единицу ниже. Простые корни многочлена не являются корнями наибольшего общего делителя многочленов и .

Отсюда вытекает следующее правило для нахождения кратных корней уравнения:

1. Находим .

2. Находим наибольший общий делитель многочленов и .

3. Находим корни наибольшего общего делителя многочленов и .

Каждый из найденных корней наибольшего общего делителя многочленов и является корнем многочлена , причем кратность этого корня на единицу больше его кратности в наибольшем общем делителе.

Отметим, что если наибольший общий делитель многочленов и есть константа, то уравнение =0 не имеет кратных корней.

Пример 1.

Решить уравнение

.

Решение.

Рассмотрим многочлен

производная которого равна

Найдем наибольший общий делитель многочленов и .

Имеем

Рис.1. - наибольший общий делитель многочленов

Таким образом, наибольший общий делитель многочленов и равен х-1 (с точностью до постоянного множителя).

Так как х=1 является простым корнем наибольшего общего делителя, что число х=1 будет двукратным корнем данного уравнения, и, значит, многочлен делится без остатка на Разделив на , находим, что Следовательно, корни исходного уравнения- это числа и х=6 и только они.