3.1 Исследование функций и построение их графиков

Пример 1

Исследовать и построить график функции

Решение.

1. Функция существует для всех .

2. Функция не является ни четной, ни нечетной,

так как

,

то есть и .

3. В точке х=0 функция имеет разрыв в точке х=0.

При этом

4. Находим производную: и приравниваем ее к нулю:

. Точка будет критической.

Проверим достаточные условия экстремума в точке . Так как знаменатель производной всегда положителен, то достаточно проследить за знаком числителя. Получаем: при и при . Следовательно, в точке функция имеет минимум, ее значение в точке .

5. Точек пересечения с осью ОY нет, так как данная функция не определена при х=0. Чтобы найти точки пересечения кривой с осью ОХ, нужно решить уравнение .

Тогда или .

Получим, что при функция убывает; х= y=0; функция убывает; при функция убывает; при х= функция имеет минимум y=3; при функция возрастает.

График данной функции представлен на рисунке.

Кривая, рассмотренная в этой задаче называется «Трезубец Ньютона».