3.18 Задача о линеаризации функции

По всей вероятности, исторически задача стояла так: «Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой ». Дело в том, что ученым (в частности вычислителям) надо было в случае довольно «громоздкой» зависимости между переменными заменить в окрестности некоторой точки эту зависимость более простой. А самой простой является линейная зависимость. Поэтому вместо сформулированной выше задачи выдвинулись требования: «Заменить данную функцию линейной функцией в окрестности точки ». Эта идея занимала Тейлора. В случае, если эта замена давала вычислителям большие погрешности, ставилась задача замены данной функции в окрестности точки квадратичной функцией, многочленом третьей степени, четвертой и т.д.- до тех пор, пока не получалась нужная точность вычислений. Эта идея имеет простой геометрический смысл: при замене данной функции линейной в окрестности точки рассматривается касательная , при замене квадратичной- соприкасающаяся парабола, при замене многочленом третьей степени- соприкасающаяся кубическая парабола и т.д.

Замена данной функции линейной получила название линеаризации. Поскольку не было явно сформулировано понятие предела (это уже IX век), то на основе интуиции бесконечно малые «более высоких порядков» просто отбрасывались.

Пример 1.

Замените данную функцию линейной вблизи нуля:

Решение.

Если , то так же стремятся к нулю, поэтому ими можно пренебречь, то есть отбросить. В результате получаем

Пример 2.

Замените данную функцию линейной вблизи нуля:

Решение.

Отбрасываем в числителе и знаменателе х в степени выше первой:

Умножим числитель и знаменатель дроби на двучлен, сопряженный со знаменателем:

Отбрасываем в числителе и знаменателе х в степени выше первой. Будем иметь

или