Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти общий интеграл линейного неоднородного ДУ

.

Решение. Решим уравнение методом Бернулли, т.е. будем искать решение ДУ в виде . Здесь .

Сделаем подстановку Бернулли:

, .

Решим уравнение , найдем его частное решение.

Разделяем переменные .

Полагая , выбираем частное решение . Далее находим общее решение уравнения , где . Имеем:

.

Общее решение исходного уравнения имеет вид:

.

Пример 2. Решить задачу Коши для ДУ

, .

Решение. Запишем уравнение в виде:

.

Полученное уравнение есть уравнение вида (4.6). Сведем его к уравнению (4.6*), считая и :

–

линейное относительно .

Используем метод Лагранжа. Решим линейное однородное ДУ:

.

Заменяем произвольную постоянную функцией , решение ищем в виде:

.

Находим производную: . Подставляем и в исходное уравнение, получаем:

.

Находим :

.

Решим интеграл .

Последний интеграл решается методом интегрирования по частям, получаем:

.

Таким образом, общим решением данного уравнения является

.

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . Подставляем в полученное общее решение , имеем:

.

Искомое частное решение имеет вид:

.

Пример 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Решение. Перепишем уравнение в виде:

.

Поделим обе части уравнения на ( ), получим:

–

это уравнение Бернулли ( ). Поделим на и сделаем замену , получаем:

.

Общее решение последнего линейного ДУ имеет вид (по формуле 4.5):

,

т.е. .

Сделаем обратную замену, получим – общее решение исходного ДУ.

Пример 4. Решить задачу коши для ДУ

,

Решение. Заменим , получаем:

.

Обе части полученного уравнения поделим на :

–

это есть уравнение Бернулли относительно переменной .

Решим его методом Бернулли, т.е. с помощью подстановки , .

Получаем:

.

Решим (найдем частное решение) уравнение (найдем частное решение). Разделяем переменные, а затем интегрируем:

.

Найдем общее решение уравнения, где :

.

Следовательно, общее решение исходного ДУ примет вид:

.

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

.

Получаем частное решение:

.