Метод и. Бернулли

Введем две неизвестные функции и . Решение уравнения (4.1) найдем в виде произведения этих двух функций, т.е. с помощью подстановки (подстановки Бернулли). Тогда . Подставляя выражения и в уравнение (4.1), получаем: или

. (4.2)

Подберем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. уравнение (4.2) превратилось в уравнение

. (4.3)

Для этого необходимо решить ДУ с разделяющимися переменными: .

А именно: .

Так как может быть выбрана достаточно произвольно (поскольку только произведение должно удовлетворять исходному уравнению 4.1), можно принять . Отсюда:

.

Подставляя найденную функцию в уравнение (4.3), получаем:

.

После решения полученного ДУ с разделяющимися переменными находим функцию :

.

Возвращаясь к переменной , получаем общее решение исходного ДУ (4.1):

.

Таким образом, интегрирование уравнения (4.1) сводится нахождению двух функций: – решение уравнения , и – решение уравнения , т.е. к интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными.