9.3. Однородные дифференциальные уравнения Краткие теоретические сведения

К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся однородные ДУ первого порядка.

Определение. Функция называется однородной функцией n-го порядка (измерения) относительно аргументов и , если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель вся функция умножается на , т.е. равенство

справедливо для любого , при котором функция определена, .

Например, функция есть однородная функция третьего порядка, так как

.

Функция будет однородной нулевого порядка, если , т.е. выполняется равенство

. (3.1)

Определение. Дифференциальное уравнение

(3.2)

называется однородным, если функция есть однородная функция нулевого порядка.

Однородное ДУ (3.2) можно переписать в виде:

.

Действительно, так как функция – однородная функция нулевого порядка, то уравнение (3.2) можно записать в виде .

Положив , получаем:

.

Следовательно, уравнение (3.2) сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены переменной (подстановкой)

или , тогда ,

где – есть функция переменной , т.е. :

.

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:

. (3.3)

Оно будет однородным в том и только том случае, если и – однородные функции одного и того же порядка, т.е.

и .

Действительно, переписав его в нормальной форме:

,

легко видеть, что – однородная функция нулевого порядка, так как

.

Замечание. Уравнение вида , где – числа, приводится к однородному или с разделяющимися переменными. Для этого вводятся новые переменные и , положив , где и – числа, которые подбирают так, чтобы уравнение стало однородным.