Примеры решения типовых задач

Пример 1. Решить ЛНДУ с постоянными коэффициентами

.

Решение. В данном уравнении правая часть не является функцией вида (8.4). Поэтому метод неопределенных коэффициентов здесь не подходит. Воспользуемся методом вариации.

Для начала запишем однородное ДУ, составим соответствующее для него характеристическое уравнение и найдем его корни:

.

Следовательно, общее решение однородного ДУ имеет вид

.

Тогда общее решение ЛНДУ будем искать в виде

.

Составим систему уравнений (8.4.)

Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера. Найдем определители второго порядка:

; ;

.

Найдем неизвестные:

; .

Откуда

; .

Таким образом, общее решение исходного уравнения

.

Так как константы и в получившемся решении не встречаются, то константы и можно перенумеровать . Тогда решение примет вид:

.

Пример 2. Записать вид частного решения уравнения

, где

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

Решение. Запишем ЛОДУ, составим для него характеристическое уравнение и найдем его корни: .

а) . Сравниваем данную функцию с формулой (8.4), делаем вывод, что . Так как число не является корнем характеристического уравнения ЛОДУ, следовательно, его кратность равна нулю, т.е. . Так как и можно полагать, что , то . Подставляя все найденное в формулу (8.5), получаем, что частное решение запишется в виде:

.

б) . Воспользуемся таблицей, имеем второй случай, когда правая часть имеет вид:

,

где . Число является корнем кратности 2 характеристического уравнения. Тогда частное решение запишем в виде: .

в) . Так как является корнем кратности 2 характеристического уравнения, то . Так как – многочлен второй степени, то частное решение имеет вид: .

г) . Функция имеет вид (8.4), где , поэтому . Т. к. число не является корнем характеристического уравнения, то, подставив все найденные значения в формулу (8.5), получаем .

д) . Имеем:

– не является корнем характеристического уравнения. Многочлены – соответственно многочлены второй и нулевой степени, значит, многочлены будут иметь вторую степень, так к . Решение имеет вид:

.

Пример 3. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Значит общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид . Запишем число ( ), то . В данном случае – многочлен первой степени ( ). Поэтому частное решение данного уравнения ищем в виде:

.

Найдем и :

,

Подставим , и в исходное уравнение, получим:

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых неизвестных в левой и правой частях уравнения, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Подставляя A и B в выражение для , получаем частное решение данного уравнения . Так как общее решение ЛНДУ есть сумма и , т.е. , то для данного уравнения оно имеет вид:

.

Найдем частное решение. Для этого найдем производную . Составим систему двух уравнений с двумя неизвестными, учитывая, что :

Итак, искомое частное решение имеет вид:

.

Пример 4. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни , поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид:

.

Используя формулы тригонометрии, преобразуем правую часть уравнения:

, т.е. .

Правая часть неоднородного дифференциального уравнения представляет сумму двух функций специального вида:

. Решим отдельно два уравнения.

а) частное решение неоднородного уравнения:

будем искать в виде:

.

Подставляя эту функцию в уравнение, находим: ,

поэтому .

б) если , то в этом случае , и так как . Тогда частное решение имеет вид:

.

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем:

.

Приравниваем многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения, получаем:

Получаем .

Объединяя полученные результаты, получаем общее решение исходного уравнения:

.

Пример 5. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение или имеет корни .

Получили три простых корня: один действительный и два комплексно-сопряженных . С учетом формул (7.3) и (7.5) общее решение исходного ДУ имеет вид:

.

Так как , то в данном случае ; поскольку такого у корня характеристического уравнения нет, то . Многочлен имеет степень , следовательно, также является многочленом второй степени и имеет вид: . Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде:

.

Подставляя эту функцию в исходное уравнение, получаем:

,

поделим обе части на :

.

Приравниваем коэффициенты при неизвестных в одинаковой степени, получаем:

Следовательно, частное решение данного уравнения имеет вид:

.

Объединяя полученные результаты, приходим к выводу, что общее решение исходного уравнения имеет вид:

.