9.6. Дифференциальные уравнения второго и более высоких порядков, допускающие понижение порядка Краткие теоретические сведения

Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть этого метода состоит в том, что с помощью замены подстановкой данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

Рассмотрим некоторые типы уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка.

1. Пусть дано уравнение второго порядка:

. (6.1)

Порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования данного уравнения.

Так как , то уравнение (6.1) можно записать в виде . Тогда . Далее, интегрируя полученное уравнение по , находим: – общее решение данного уравнения.

Аналогично поступают в случае, если уравнение задается в виде:

. (6.1*)

Общее решение находят методом n-кратного интегрирования:

.

2. Рассмотрим уравнение:

, (6.2)

явно не содержащее искомую функцию .

Сделаем замену , где – новая неизвестная функция. Тогда и уравнение (6.2) принимает вид . Пусть – общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяем функцию , получаем ДУ . Для отыскания достаточно проинтегрировать последнее ДУ, тогда общее решение ДУ (6.2) будет иметь вид .

ДУ n-го порядка вида:

, (6.2*)

которое не содержит явно искомой функции сводится к уравнению -го порядка с помощью подстановки , учитывая, что . Получаем уравнение:

.

Если удастся отыскать общее решение последнего уравнения в виде , получим дифференциальное уравнение

вида (6.1.*), решение которого находят k-кратным интегрированием.

3. Рассмотрим ДУ второго порядка, явно не содержащее независимую переменную :

. (6.3)

В этом случае порядок можно понизить с помощью новой функции , зависящую от переменной , полагая . Тогда

,

так как . Таким образом, , тогда уравнение (6.3) запишется в виде . Пусть – общее решение этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию на , получаем – ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, получаем общий интеграл уравнения (6.3):

.

При решении уравнения

(6.3*)

поступаем аналогично. Его порядок всегда можно понизить на единицу с помощью подстановки , где . По правилу дифференцирования сложной функции находим , затем

и т.д.