Примеры решения типовых задач

Пример 1. Является ли функция , где С – произвольная постоянная, решением ДУ ?

Решение. Подставив в данное уравнение саму функцию и ее производную , после преобразования полученного выражения, получим тождество:

.

Следовательно, данная функция является решением уравнения.

Пример 2. Доказать, что функция , заданная в неявном виде, является интегралом ДУ .

Решение. Действительно, согласно правилу дифференцирования неявной функции , имеем:

. Подставляя полученное выражение в данное ДУ, получаем равенство: .

Пример 3. Составить дифференциальные уравнения семейства линий:

. (*)

Решение. Для того, чтобы составить ДУ для данного семейства, заданного уравнением в неявном виде, находим производную:

.

Исключаем теперь произвольную постоянную С из уравнения (*), для этого выразим с из последнего равенства и подставим в уравнение (*): .

Окончательно получим:

.

Это и есть искомое дифференциальное уравнение данного семейства окружностей.

Пример 4. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых, зависящего от двух параметров и :

. (**)

Решение. Так как в данном уравнении две произвольных постоянных и , то для их нахождения надо иметь два уравнения. Для этого продифференцируем уравнение (**) два раза:

Решая полученную систему относительно и , получим:

.

Подставив найденные значения и в уравнение (**), получим после преобразований:

.

Это и есть искомое дифференциальное уравнение двупараметрического семейства кривых (**).

Пример 5. С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых уравнения .

Р ешение. Уравнение изоклин этого ДУ будет , т.е. изоклинами здесь будут прямые, параллельные оси . В точках прямых проведем отрезки, образующие с осью один и тот же угол , тангенс которого равен С.

Так, при имеем , , поэтому ;

при уравнение изоклины , поэтому и ;

при ;

при и т.д.

Построив четыре изоклины и отметив на каждой из них ряд стрелочек, наклоненных к оси под определенным углом (рис. 2), по их направлениям строим линии. Они представляют собой семейство парабол.