Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти общее решение для следующих однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Характеристическое уравнение имеет различные корни: , поэтому общее решение ДУ имеет вид:

.

б) В данном случае характеристическое уравнение имеет один корень кратности 2 , следовательно, искомое общее решение есть

.

в) Характеристическое уравнение имеет комплексные корни , следовательно, . Поэтому общее решение имеет вид:

.

Пример 2. Найти общее решение для следующих однородных линейных дифференциальных уравнений высших порядков:

а) ; б) .

Решение.

а) Составляем характеристическое уравнение для данного ДУ и находим его корни: . Получаем два корня кратности 2: .

На основании формулы (7.4) общее решение исходного уравнения имеет вид: .

б) Характеристическое уравнение для данного ДУ имеет вид:

.

Находим его корни:

.

Получили пять простых корней: три действительных и два комплексно-сопряженных . С учетом формул (7.3.) и (7.5.) общее решение исходного ДУ имеет вид:

.