Примеры решения типовых задач

Пример 1. Пусть национальный доход возрастает со скоростью, пропорциональной его величине т. е. имеет место уравнение (9.1) и пусть, кроме того, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу (при коэффициенте пропорциональности ). Дефицит в расходах приводит к возрастанию национального долга : .

Здесь мы считаем переменные и непрерывными и дифференцируемыми функциями времени .

Пусть начальные условия имеют вид и при . Из первого уравнения мы получаем, учитывая начальные условия, . Подставляя во второе уравнение, получаем . Общее решение этого уравнения имеет вид, где , которую мы определим из начальных условий. Подставляя начальные условия в полученное решение, мы получаем . Итак, окончательно:

,

т.е. национальный долг возрастает с той же относительной скоростью , что и национальный доход.

Пример 2. В условиях ненасыщаемости рынка найти объем производства по истечении 6 месяцев, если в начальный момент времени объем производства (усл. ед.), при норме инвестиций 0,6, продажной цене равной 0,15 (усл. ед.) и .

Решение. Подставляя в формулу (9.2) все заданные значения и учитывая, что , имеем:

(усл. ед.).

Пример 3. Функции спроса и предложения на некоторый товар имеют вид:

а) Найти зависимость равновесной цены от времени, если .

б) Является ли равновесная цена устойчивой?

Решение. а) Из условия равенства спроса и предложения, имеем:

,

откуда

,

т.е. получаем уравнение с разделяющимися переменными.

Решением этого уравнения является функция

.

Из условия следует, что . Так, что окончательно

.

б) Так как , то цена устойчивостью не обладает.

Пример 4. Сберегательный счет приносит 6% годовых, начисляемых непрерывно, и непрерывные отчисления денег со счета по 900 рублей ежегодно. Составьте дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет количество денег в счете в момент времени t. Постройте интегральные кривые этого уравнения.

Решение. Вначале будем игнорировать факт непрерывных отчислений денег со счета. Когда проценты начисляются непрерывно, как известно (см. стр. _), наращенная сумма на счете является показательной функцией числа лет t: , здесь М – исходная сумма, r – годовая процентная ставка. Следовательно удовлетворяет дифференциальному уравнению: или в данном случае .

Таким образом, сберегательный счет растет со скоростью, пропорциональной размеру счета и процентной ставке.

Пусть теперь происходят непрерывные отчисления со счета в размере 900 рублей в год. Тогда имеются два фактора влияния на сумму на счете – начисление процентов и вычеты денег. Скорость изменения – результат влияния этих факторов. Функция теперь удовлетворяет уравнению:

y’ = 0,06y – 900.

Приравнивая y’ = 0, получим y = 900/0,06 = 15000. Это означает, что если начальное количество денег на счете y(0) в счете будет равно 15000 рублей, то это количество денег всегда будет оставаться неизменным поскольку скорость изменения суммы y’ = 0. Если начальное количество будет больше, чем 15000, то на сберегательном счете накопит деньги будут накапливаться. Если начальное количество будет меньше чем 15000, то сумма на счете будет уменьшаться (по-видимому, банк прекратит вычеты денег, когда баланс счета достигнет ноля).

Решение дифференциального уравнения имеет вид

, C≡const.

Графики скорости изменения суммы денег на счете и интегральные кривые сумм представлены на рис. 1.: