Примеры решения типовых задач

Пример 1. Решить ДУ с разделяющимися переменными:

.

Решение. Запишем данное уравнение в виде:

.

В каждой части равенства вынесем за скобки одинаковые множители:

.

Разделим левую и правую части уравнения на произведение . Тогда получим уравнение с разделенными переменными:

.

Интегрируя, получим:

.

Для удобства записи положим , где , тогда

Потенцируя, получим:

Освобождаемся от знака модуля:

или –

общий интеграл ДУ.

Найдем особые решения, если они имеются. Для этого решим уравнение:

.

Получаем, что . Функции ( ) удовлетворяют данному уравнению. Рассмотрим соотношение . Из него находим, что . Подставляем эти значения в уравнение, получаем тождество . Значит, также является решением данного уравнения.

Пример 2. Решить ДУ с разделяющимися переменными:

.

Решение. Учитывая, что , запишем данное уравнение в дифференциальной форме (см. формулу 1.7.):

.

Для удобства решения перепишем его в виде:

.

Разделим переменные:

,

тем самым мы свели уравнение к виду (2.1.*).

Проинтегрируем последнее уравнение, применяя в правом интеграле формулу интегрирования по частям:

.

Получили общее решение исходного уравнения. Так как , то особых решений нет.

Иногда для разделения переменных надо сначала сделать замену переменных.

Пример 3. Решить уравнение:

.

Решение. Сделаем замену переменных, введя новую искомую функцию , где – функция переменной , т.е. . Дифференцируя это равенство, получим:

.

Тогда уравнение примет следующий вид:

или ,

откуда

Особых решений нет, так как .

После обратной замены получаем:

–

общий интеграл.

Пример 4. Найти частное решение (интеграл) уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Применим первые два пункта алгоритма решения ДУ с разделяющимися переменными, получим:

.

Разделим левую и правую части уравнение на . Получаем уравнение с разделенными переменными:

.

Проинтегрируем последнее равенство:

.

Получили общий интеграл исходного ДУ.

Использовав начальное условие, определим значение произвольной постоянной, т.е. подставим в общий интеграл ДУ значения :

.

Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид:

или .