logo
9

Задания для самостоятельной работы

n9.10. Решить линейные неоднородные ДУ:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) .

n9.11. Решить линейные неоднородные ДУ, относительно переменной х:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) .

n9.12. Решить уравнения Я. Бернулли:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) .

n9.13. Решить задачу Коши для указанных ДУ:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) .

Ответы

9.5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Краткие теоретические сведения

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение вида:

(5.1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции , т.е.

.

В этом случае ДУ (5.1) можно записать в виде , а его общий интеграл будет

. (5.2)

Искомая функция должна удовлетворять требованиям

и . (5.3)

Теорема. Для того чтобы левая часть уравнения (5.1), где функции и и их частные производные и непрерывны в области , было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия:

. (5.4)

Таким образом, при решении ДУ вида (5.1) сначала проверяют выполнение условия (5.4). Затем, используя равенства (5.3), находят функцию . Решение записывают в виде (5.2).

Также общий интеграл уравнения (5.1) можно найти с помощью одной из следующих формул:

, (5.5)

, (5.6)

где .

Yandex.RTB R-A-252273-3
Yandex.RTB R-A-252273-4