Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти все решения ДУ

.

Решение. Запишем данное ДУ в форме (3.2)

.

Проверим функцию на однородность нулевого порядка:

.

Из проверки видно, что данное уравнение действительно является однородным. Сделаем замену , . Тогда:

.

Получившееся после преобразований ДУ – есть ДУ с разделяющимися переменными.

Разделяя переменные, последовательно находим:

,

.

Сделаем обратную замену, т.е. в последнее выражение вместо подставим значение . Получим общий интеграл:

При разделении переменных могли потерять особые решения. Найдем их, если они имеются. Для этого решим уравнение . Непосредственно видно, что не является решением Если , то . С помощью подстановки можно убедиться, что – является решением данного ДУ.

Следовательно, к общему интегралу необходимо добавить решение .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Приведем данное уравнение к виду (3.3)

.

Так как функции и – однородные первого порядка, то данное уравнение – однородное. Сделаем замену , . Тогда

,

предполагая, что , сокращаем обе части равенства на . Далее имеем:

.

Разделяем переменные, интегрируем и находим общий интеграл ДУ:

.

После обратной замены получаем:

.

Особое решение только одно , так как .

Пример 3. Найти частное решение ДУ

,

удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Легко видеть, что функция – однородная нулевого порядка. Сделаем замену , . Тогда

.

Разделяем переменные

.

Интегрируем последнее равенство, получаем:

.

Подставляя вместо его значение, получим общее решение:

.

Использовав начальное условие , определим значение С:

.

Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид:

.

Пример 4. Найти общий интеграл ДУ

.

Решение. Положив , получаем:

.

Подберем и так, чтобы уравнение стало однородным, т.е.

Находим, что . Заданное уравнение принимает вид:

и будет являться однородным.

Решая это однородное уравнение подстановкой , получаем уравнение:

решением которого является:

.

Подставляя значение , получаем: .

Так как , т.е. , имеем:

.