Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)

Решим линейное однородное ДУ, о котором говорилось выше, т.е.

.

Данное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными, поэтому

,

т.е. .

Метод вариации произвольной постоянной состоит в следующем: постоянную в полученном решении заменяют функцией , т.е. . Решение уравнения (4.1) ищем в виде:

. (4.4)

Подставляем решение (4.4) в исходное уравнение (4.1)

Для удобства вычислений найдем отдельно производную :

.

После подстановки получаем:

.

Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются, и уравнение принимает вид:

.

Следовательно,

Интегрируя, находим:

Подставляя выражение в равенство (4.4), получим общее решение ДУ (4.1):

(4.5)

Естественно, та же формула была получена методом Бернулли.

Общее решение уравнения (4.1) всегда можно записать в виде (4.5).

Замечание. Уравнение вида

(4.6)

можно свести к линейному, если считать функцией, а – аргументом: . Тогда, используя равенство , получаем

, т.е. или , (4.6*)

где и , линейное относительно уравнение.

Его общее решение имеет вид: