Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти общий интеграл уравнения в полных дифференциалах

.

Решение. Здесь . Так как

и , то выражение является полным дифференциалом некоторой функции . При этом и – непрерывные функции. Тогда

1) и 2) .

Найдем функцию , интегрируя по левую и правую части равенства 1, получим:

.

Чтобы найти , продифференцируем последнее выражение по :

.

Учитывая равенство 2, запишем уравнение

,

откуда находим:

.

Подставляя найденное в выражение для функции , получаем:

.

Таким образом, общий интеграл уравнения имеет вид:

.

Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Запишем данное уравнение в виде:

.

Имеем:

,

.

Значит, данное уравнение не является ДУ в полных дифференциалах. Используем интегрирующий множитель. Запишем отношение

.

Поэтому данное уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от .

Найдем этот интегрирующий множитель:

.

Умножим исходное уравнение на , получим уравнение:

,

которое, как нетрудно убедиться, уже является ДУ в полных дифференциалах. Действительно, имеем

.

Следовательно, левая часть полученного уравнения имеет вид . Таким образом,

1) и 2) .

Интегрируя первое из этих равенств по , находим:

.

При вычислении интеграла использовали метод интегрирования по частям:

.

Найдем производную по от полученной функции:

.

Применяем равенство 2, получаем:

.

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

.

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, т.е. подставим в общий интеграл , получим:

.

Получаем частное решение

.