Примеры решения типовых задач

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение вида (6.1*). Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим:

,

,

.

Пример 2. Решить ДУ .

Решение. Данное уравнение есть неполное ДУ второго порядка, в нем явно отсутствует .

Подстановкой , сводим его к уравнению первого порядка – ДУ с разделяющимися переменными.

.

Так как , получаем еще одно ДУ первого порядка . Интегрируем получившееся ДУ:

.

Пример 3. Найти общее решение ДУ третьего порядка

.

Решение. Данное уравнение является уравнением 2-го типа (6.2), где . Вводим новую функцию и получаем из исходного уравнения линейное уравнение , которое записываем в виде

.

Для его решения воспользуемся формулой (4.5), получаем:

.

Так как , то приходим к новому ДУ, решение которого находится с помощью двукратного интегрирования:

.

Пример 4. Найти частное решение ДУ , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Данное ДУ относится к 3-му типу, в нем явно отсутствует переменная .

Воспользуемся подстановкой , где , тогда :

.

1) . Если , то .

2) .

Учитывая, что , получаем – уравнение первого порядка

– общее решение. Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . Найдем : . Подставим в выражения для и значения , получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Следовательно, данное уравнение имеет два частных решения:

и .

Пример 5. Найти общее решение ДУ третьего порядка

.

Решение. Имеем уравнение вида (6.3*). Введем новую функцию , где . Тогда

.

После подстановки получаем уравнение:

.

Преобразуем получившееся уравнение:

,

.

1) .

2) . Сделаем обратную замену , получаем:

.