9.9. Приложение дифференциальных уравнений в экономике Краткие теоретические сведения

В данном параграфе рассматриваются примеры применения ДУ для описания процессов макроэкономической динамики.

Пусть – объем продукции некоторого производителя, реализованный моменту времени . Пусть цена на данный товар остается постоянной (в пределах рассматриваемого промежутка времени). Тогда функция удовлетворяет уравнению:

, (9.1)

где , – норма инвестиций, – продажная цена, – коэффициент пропорциональности между величиной инвестиций и скоростью выпуска продукции.

Уравнение (9.1.) является уравнением с разделяющимися переменными (см. п. 2). Его решение имеет вид:

, (9.2)

где y₀=y(t₀).

Уравнение (9.1.) описывает также рост народонаселения, динамику роста цен при постоянной инфляции и т.д.

Предположение о неизменности цены (о ненасыщаемости рынка) на практике оказывается справедливым только для узких временных промежутков. В общем случае цена является убывающей функцией от объема реализованной продукции ( ).

Тогда уравнение (1.1) принимает вид:

, (9.3)

оставаясь тем не менее уравнением с разделяющимися переменными.

Уравнение (9.3.) описывает также рост народонаселения при наличии (естественных) ограничений для этого роста, динамику развития эпидемий, процесс распространения рекламы и т.д.

Эластичность спроса относительно цены определяется формулой:

.

В некоторых случаях представляет интерес функция спроса при данной эластичности.

В простейших ситуациях спрос на товар (предложение товара) предполагается зависящим только от его цены. В более сложных случаях в расчет принимается также зависимость спроса (предложения) от скорости изменения цены.