Метод неопределенных коэффициентов

Метод неопределенных коэффициентов основан на том, что общее решение уравнений (8.1) и (8.1*) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения , т.е.

.

Нахождение общего решения однородного уравнения рассмотрено в п. 7.

Метод неопределенных коэффициентов применяется для нахождения частного решения ЛНДУ с правой частью специального вида:

, (8.4)

где – некоторые действительные числа; – многочлены от переменной степеней и соответственно.

Суть рассматриваемого метода состоит в следующем: по виду правой части ЛНДУ с постоянными коэффициентами записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение и из полученного тождества находят значения коэффициентов.

Обозначим через комплексное число, ассоциированное с неоднородностью вида (8.4):

.

Пусть – кратность числа как корня характеристического уравнения (7.7) решаемого однородного уравнения (7.6). Тогда частное решение (ожидаемая форма) уравнения (8.1*) может быть найдено по формуле:

, (8.5)

где – многочлены, степень которых равна наибольшей из степеней и многочленов из формулы (8.4).

Замечание. Напомним, что многочлен степени n записывают в виде:

при ; при ; при ; при и т.д.

Для подбора частного решения неоднородного уравнения по виду правой части и корней характеристического уравнения удобно пользоваться следующей таблицей, которая рассматривает отдельные случаи вида правой части, т.е. если формула (8.8) присутствует не полностью (табл.).

Таблица

Определение вида частного решения дифференциального уравнения

Замечание. Если неоднородность исходного уравнения (8.1*) имеет вид:

,

и – частное решение уравнения

,

где , то

–

частное решение уравнения (8.1*).