Задачи для самостоятельной работы

n9.29. Найти функцию спроса , если эластичность спроса по цене постоянна = - ½, а цена при значении спроса .

Ответ:

n9.30. Некоторая небольшая страна имеет 10⁹ денежных единиц наличными в обращении, и каждый день 50 миллионов поступает в банки страны. Правительство решает ввести в обращение денежные купюры нового образца, заменяя старые купюры новыми всякий раз, когда старые купюры поступают в банки. Пусть x(t) – сумма денег в обращении в момент времени t, представленная новыми купюрами, x(0)=0.

a) Постройте математическую модель "потока" новых купюр в обращение в форме уравнения с начальными условиями.

б) Решите уравнение a) с начальными условиями.

в) Сколько потребуется времени для того, чтобы денежная масса в новых купюрах составила 90% наличных денег в обращении?

Ответ: в) 18 дней.

n9.31. Пусть – объём денег (в рублях), инвестируемых в бизнес в момент времени t (в месяцах). Скорость изменения инвестированного капитала, , иногда называют уровнем чистых инвестиций. Предположим, что руководство фирмы решает, что оптимальный уровень инвестиций должен быть равен C рублей и что в любое время уровень чистых инвестиций должен быть пропорционален разнице между C и объёмом инвестируемого капитала.

а) Постройте дифференциальное уравнение, которое описывает эту ситуацию.

б) Полагая f(0)=0, f(3)=С/2, найдите объём инвестированных в бизнес денег в течение 6 месяцев.

Ответ: б) 0,75С.

n9.32. Модель, описывающая взаимосвязь между ценой продукта и недельным объёмом продаж этого продукта, имеет вид

,

где у – объём проданной продукции, р – цена продукта.

а) Решите это дифференциальное уравнение.

б) Постройте графики функций спроса у = у(р,С).

Ответа нет.

n9.33. В экономической теории для описания инвестиционной политики компании используется следующая модель. Пусть представляет сумму инвестированного капитала компании к моменту времени t. Дополнительно капитал инвестируют всякий раз, когда ниже определенной величины равновесия E, и капитал забирают всякий раз, когда превышает E. Уровень (скорость) инвестиций пропорционален разнице между и E. Составьте дифференциальное уравнение, решением которого является , и постройте графики интегральных кривых.

Ответ: y’ = k(E - y), k > 0.

n9.34. Вечная рента – непрекращающийся поток денег, которые выплачиваются некоторому лицу. Такая рента может быть установлена, например, если внести начальную сумму на сберегательный счет банка и затем делать фиксированные отчисления со счета. Предположим, что начальная сумма 5400 рублей помещена на сберегательный счет, на который непрерывно начисляются проценты по годовой ставке 5.5%. И непрерывно производятся отчисления денег со счета, при этом сумма отчислений за год составляет 300 рублей. Составьте дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет сумма денег на счете f(t) в момент времени t. Постройте график решения.

Ответ: y’ = 0,055y – 300, у(0) = 5400.

n9.35. Сумма 10000 рублей положена на сберегательный счет банка по годовой ставке 6%, начисляемых непрерывно. Через шесть месяцев начаты непрерывные отчисления денег со счета со скоростью 600 рублей в год. Составьте дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет сумма денег на счете в момент времени t, где t > 0,5. Постройте графики интегральных кривых.

Без ответа.

n9.36. Фирма хочет сформировать фонд своего будущего развития. С этой целью она делает непрерывные отчисления на сберегательный счет в размере 10000 рублей в год. Сберегательный счет предусматривает непрерывное начисление 5% годовых.

а) Составьте дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет сумма денег на счете в момент времени t.

б) Решите дифференциальное уравнение при условии .

в) Сколько денег на счете окажется к концу 5 года?

Ответ: в) 56805 рублей.

n9.37. Господин N планирует купить новый автомобиль. С этой целью он делает непрерывные отчисления на отдельный сберегательный счет в размере Р рублей в год. Сберегательный счет предусматривает непрерывное начисление 7% годовых. Определите сумму ежегодных отчислений Р, которая позволит господину N накопить на сберегательном счете к концу четвёртого года 350000 рублей.

Ответ: Р = 75821 рубль.

n9.38. Проектная производственная мощность нового цеха – 15000 единиц продукта в день. В период переходного процесса освоения производственных мощностей объём фактического производства в момент времени t равен . Прирост производства пропорционален недоиспользованной мощности. Составьте дифференциальное уравнение, решением которого является , и постройте график интегральной кривой, удовлетворяющей условию . какова

Без ответа.

Ответы

Типовые варианты контрольных работ

Контрольная работа № 11 по теме «Решение дифференциальных уравнений первого порядка»

3.

Контрольная работа № 11 по теме «Решение дифференциальных уравнений высших порядков порядка»

240