9.7. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами (лоду) Краткие теоретические сведения

Линейным однородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

, (7.1)

где коэффициенты – некоторые действительные числа.

Дифференциальному уравнению (7.1) ставится в соответствие характеристическое уравнение, т.е. алгебраическое уравнение n-го порядка вида:

. (7.2)

Для его составления достаточно в уравнении (7.1) заменить .

Как известно, уравнение (7.2) имеет n корней. Обозначим их через .

Корни уравнения (7.2) могут быть действительные или комплексные, среди которых могут быть и равные. Если уравнение имеет равные корни, то в этом случае говорят, что корень один и имеет кратность . Так, например, уравнение имеет три равных корня: . В этом случае корень имеет кратность . Если кратность корня равна единице, его называют простым.

Общее решение дифференциального уравнения (7.1) строится в зависимости от характера корней уравнения (7.2):

1) каждому действительному простому корню в общем решении соответствует слагаемое вида , т.е. если все корни уравнения действительны и различны , то общее решение уравнения (7.1) записывается в виде:

; (7.3)

2) каждому действительному корню кратности в общем решении соответствует слагаемое вида:

; (7.4)

3) каждой паре комплексных сопряженных простых корней в общем решении соответствует слагаемое вида:

; (7.5)

4) каждой паре комплексных сопряженных корней кратности в общем решении соответствует слагаемое вида:

.

Если в уравнении (7.1) , то получаем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

. (7.6)

Характеристическое уравнение имеет вид:

. (7.7)

При его решении возможны три случая:

1*) если , то , и общее решение уравнения (7.6) имеет вид:

;

2*) если , то , т.е. уравнение (7.7) имеет один корень кратности . Тогда общее решение уравнения (7.6) имеет вид:

;

3*) если , то характеристическое уравнение имеет комплексные корни , где , и общее решение уравнения (7.6) имеет вид:

.