6. Интерполяция функций

Аппроксимация функций заключается в приближенной замене заданной функции f(x) некоторой функцией  так, чтобы отклонение функции   и f(x) в заданной области было наименьшим. Функция  при этом называется аппроксимирующей. Типичной задачей аппроксимации функций является задача интерполяции. Необходимость интерполяции функций в основном связана с двумя причинами:

1. Функция f(x)  имеет сложное аналитическое описание, вызывающее определенные трудности при его использовании (например,  f(x) является спецфункцией: гамма функцией, эллиптической функцией и др.).

2. Аналитическое описание функции f(x)  неизвестно, т.е. f(x)  задана таблично. При этом необходимо иметь аналитическое описание, приближенно представляющее f(x)   (например, для вычисления значений f(x)  в произвольных точках, определения интегралов и производных от f(x)  и т.п.)

Постановка задачи интерполяции

Простейшая задача интерполяции заключается в следующем. На отрезке [a; b] заданы n+1 точки , которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции  f(x)  в этих точках

f (x₀) = y₀,  f (x₁ )= y₁ ,…, f(x_n)=y_n                                                  (6.1)

Рис. 6.1. Геометрическая интерполяция

Требуется построить функцию  (интерполяционная функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т.е. такую, что

(x₀) = y₀,  (x₁ )= y₁ ,…, (x_n)=y_n                                           (6.2)

Геометрически это означает, что нужно найти кривую  некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек

 (i=0, 1, …, n) (рис. 6.1).

В такой общей постановке задача может иметь бесконечное множество решений или совсем не иметь решений.

Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции  искать полином  (интерполяционный полином) степени не выше n, удовлетворяющий условиям (6.2), т.е. такой, что

             (x₀) = y₀,  (x₁ )= y₁ ,…, (x_n)=y_n                                                  (6.3)

Полученную интерполяционную формулу

                                                     (6.4)

обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции f(x) для значений аргумента x, отличных от узлов интерполяции. Такая операция называется интерполяцией функций.

Различают два вида интерполяции:

1. глобальная – соединение всех точек f(x) единым интерполяционным полиномом;

2. локальная – соединение точек отрезками прямой (по двум точкам), отрезками параболы (по трем точкам).