Введение

В настоящее время численные методы являются мощным мате­матическим средством решения многих научно-технических проблем. Это связано как с невозможностью в большинстве слу­чаев получить точное аналитическое решение, так и со стреми­тельным развитием компьютерной техники. Существуют много­численные стандартные программы и объективно ориентирован­ные пакеты прикладных программ. Однако научным и инженер­но-техническим работникам важно понимать сущность основных численных методов и алгоритмов, поскольку зачастую интерпре­тация результатов расчетов нетривиальна и требует специальных знаний особенностей применяемых методов. Поэтому необходи­мо уделять большое внимание структуре погрешностей при реше­нии конкретных задач и корректности вычислений.

СТРУКТУРА ПОГРЕШНОСТИ. Существует четыре источника погрешностей, полученных в результате численного решения: математическая и физическая модели, исходные данные, при­ближенность метода и ошибки округления.

Первые два источника погрешностей приводят к так на­зываемой неустранимой погрешности. Эта погрешность может присутствовать, даже если решение сформулированной задачи найдено точно. Погрешность метода возникает из-за того, что точный оператор и исходные данные, в частности начальные и краевые условия, заменяются по определенным правилам при­ближенными. Так, производные заменяются их разностными аналогами, интегралы - суммами, функции - специальными многочленами; а при решении многих задач строятся бесконеч­ные итерационные процессы, которые естественным образом пре­кращаются после конечного числа итераций. Как правило, по­грешность метода может быть оценена и поддается контролю.

Погрешность метода следует выбирать так, чтобы она была не более чем на порядок меньше неустранимой погрешности.

Погрешность округления возникает в связи с тем, что вычис­ления производятся с конечным числом значащих цифр. Округления производятся по следующему правилу: если в старшем из отбрасываемых разрядов стоит цифра меньше пяти, то содержимое сохраняемых разрядов не изменяется. В противном случае в младший сохраняемый разряд добавляется единица с тем же знаком, что и у самого числа. Очевидно, что погрешность, возникающая при округлении, не превышает младшего оставляемого разряда. Повторное округление проводить не следует, так как оно может привести к увеличению погрешности. Различают абсолютную и относительную погрешность. Пусть а - точное, вообще говоря, неизвестное числовое значение некоторой величины, - известное приближенное числовое значение этой величины, тогда число называют абсолютной погрешностью числа а, а величину его относительной погрешностью. Нетрудно показать, что при сложении и вычитании складываются абсолютные погрешности, а при делении и умножении - относительные погрешности. Очевидно, что абсолютная погрешность характеризуется числом верных цифр после запятой, а относительная погрешность - числом верных значащих цифр.

Поскольку на современных компьютерах число записывается как правило, с 10 - 12 десятичными знаками, то погрешность единичного округления порядка обычно пренебре­жимо мала по сравнению с неустранимой погрешностью и погрешностью метода. При решении больших задач производятся миллиарды операций и легко предположить, что ошибки могут заметно накапливаться, однако, поскольку они носят случайный характер, может происходить их взаимная компенсация. Зачастую строятся специальные алгоритмы, в частности итерационные, которые малочувствительны к ошибкам округления.

КОРРЕКТНОСТЬ. При численном решении основных задач необходимо знать какие-либо входные (исходные) данные - начальные, краевые (граничные) значения искомой функции, коэффициенты и правые части уравнения и т. д. Очевидно, что для исследователя важно установить, существует ли решение задачи, единственно ли оно и как оно зависит от входных данных.

Говорят, что задача поставлена корректно, если она разрешима при любых допустимых входных данных, когда имеется единственное решение и это решение непрерывно зависит от входных данных, т. е. малому их изменению соответствует малое измене­ние решения. Тогда говорят, что задача устойчива.

Задача поставлена некорректно, если ее решение неустойчи­во относительно входных данных, т.е. малому их изменению мо­гут соответствовать большие изменения решения. Известно, что задача численного интегрирования корректна, а задача диффе­ренцирования некорректна.

Классическим примером некорректной задачи является зада­ча Коши для уравнения Лапласа. Эта некорректность исходной задачи проявляется и при ее численном решении.

В настоящее время развиты методы решения некорректных задач. К числу их относятся так называемые методы регуляриза­ции, которые сводят решение исходной задачи к решению близ­кой к ней вспомогательной с некоторым малым параметром так, что при решение вспомогательной задачи должно стремиться к решению исходной задачи.

Дисциплина «Численные методы» предназначена для изучения основных методов численного решения инженерных задач. Целью преподавания дисциплины является формирование у студентов твердых теоретических знаний численных методов вычислительной математики и практических навыков постановки и решения инженерных задач, в том числе, с помощью ПЭВМ.