11. Численное интегрирование и дифференцирование Численное интегрирование

Если функция f(x) непрерывна на определенном отрезке [a; b] и известна ее первообразная F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b может быть вычислен по формуле Ньютона - Лейбница

(11.1)

где .

Однако во многих случаях первообразная функции F(x) не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной; вследствие этого вычисление определенного интеграла по формуле (11.1) может быть затруднительным или даже практически не выполнимым. Кроме того, на практике подынтегральная функция f(x) часто задается таблично и тогда само понятие первообразной теряет смысл. Аналогичные вопросы возникают при вычислении кратных интегралов. Поэтому большое значение имеют приближенные и в первую очередь численные методы вычисления определенных интегралов.

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении значения определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. Пусть на отрезке [a; b] задана функция y=f(x). С помощью точек  разобьем [a;b]  на n элементарных отрезков , причем i=1, 2,…,n. На каждом из этих отрезков выберем произвольную точку  и найдем произведение S_i значения функции в этой точке  на длину элементарного отрезка :

Рис. 11.1

                                                                         (11.2)

Составим сумму таких произведений:

(11.3)

Сумма S_n  называется    интегральной    суммой.    Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] называется предел интегральной суммы при неограниченном увеличение числа точек разбиения; при этом длина наибольшего из этих отрезков стремиться к 0:

                                                (11.4)

Теорема. (О существовании определенного интеграла). Если функция f(x) непрерывна на [a;b], то предел интегральной суммы существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b], ни от выбора точек .

Геометрический смысл введенных понятий для случая f(x)>0 проиллюстрирован на рис. 11.1. Абсциссами точек M_i является значение , ординатами - значение . Выражение (11.2) при i=1, 2,…,n  описывает площади элементарных прямоугольников, интегральная сумма (11.3) -площадь ступенчатой фигуры, образуемой этими прямоугольниками. При неограниченном увеличении числа точек деления и стремлении к нулю всех элементов  верхняя граница фигуры переходит в линию y=f(x). Площадь ломаной фигуры, которую называют криволинейной трапецией, равна определенному интегралу (11.4).

Методы численного интегрирования основаны на аппроксимации подынтегральной функции с помощью интерполяционных многочленов, что позволяет приближенно заменить определенный интеграл интегральной суммой (11.3):

  (11.5)

где x - узлы интерполяции, A - коэффициенты, R - остаточный член, погрешность метода.

В   зависимости   от   способа   (11.5)   вычисления   получаются   разные   методы   численного интегрирования.

Следует   отметить,   что   к   вычислению   определенного   интеграла   сводятся   многие практические задачи: вычисление площади фигур, определение работы переменной силы.