Метод трапеций

Использует линейную интерполяцию, т.е. график функции y=f(x) представление в виде ломаной, соединяющий точки (x, y). В этом случае площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) складывается из площадей прямолинейных элементарных трапеций. Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

, i=1, 2,…,n.

Складывая все эти равенства, получаем формулу трапеций для численного интегрирования

                                                   (11.9)

Важным частным случаем рассмотренных формул является их применение при численном интегрировании с постоянным шагом h_i.=h=const.

Формулы прямоугольников и трапеций в этом случае принимают соответственно вид:

(11.10)

                                               (11.11)

В общем случае погрешность R_n численного значения S_n равна:

Она зависит от шага разбиения, и ее можно представить в виде .

Остаточный член:

  если h=const.

Поскольку погрешность численного интегрирования определяется шагом разбиения, то, уменьшая его, можно добиться большей точности. Но увеличивать число точек не всегда возможно. Если функция задана таблично, приходится, как правило, ограничиваться данным множеством точек. Повышение точности может быть в этом случаи достигнуто за счет повышения степени используемых интерполяционных многочленов. К таким относится использование квадратичной интерполяции (метод Симпсона).