13. Решение дифференциальных уравнений в частных производных Уравнения первого порядка

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых величина зависит от нескольких переменных. В этом случае решаемые уравнения содержат частные производные и называются дифференциальными уравнениями.

Полная математическая постановка задачи наряду с дифференциальными уравнениями содержит также некоторые дополнительные условия. Если решение ищется в ограниченной области, то задаются условия на её границе, называемые граничными (краевыми) условиями. Такие задачи называются краевыми задачами для уравнений с частными производными. Если одной из независимых переменных в рассматриваемой задаче является время t, то задаются некоторые условия (например, значение искомых параметров) в начальный момент t₀, называется начальными условиями. Задача, которая состоит в решении уравнения при заданных начальных условиях, называется задачей Коши для уравнения с частными производными. При этом задача решается в неограниченном пространстве и граничные условия не задаются. Задачи, при формулировке которых ставятся граничные и начальные условия, называются не стационарными (или смешенными) краевыми задачами. Получающиеся при этом решения меняются с течением времени.

В дальнейшем будем рассматривать лишь корректно поставленные задачи, т.е. задачи, решение которых существует и единственно в некотором классе начальных и граничных условий и непрерывно зависит как от этих условий, так и от коэффициентов уравнений. Решение не корректно поставленных задач выходит за рамки данного курса. Решение простейших задач для уравнений с частными производными в ряде случаев может быть проведено аналитическими методами, рассматриваемыми в соответствующих разделах математики. Это относится в основном к некоторым уравнениям первого порядка, а также к уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами. Аналитические методы полезны не только тем, что дают возможность получить общие решения, которые могут быть использованы многократно. Они имеют также огромное значение для построения численных методов. Проверка разностных схем на известных решениях простейших уравнений позволяет оценивать эти схемы, выяснить их сильные и слабые места.

К сожалению, очень многие из таких уравнений не имеют аналитического решения, и чтобы решить их, приходится прибегать к численным методам. Если для решения обыкновенных дифференциальных уравнений существует множество различных методов, то для решения дифференциальных уравнений в частных производных приходится останавливаться на широком распространённом разностном методе.