12. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Инженеру постоянно приходится в своей деятельности сталкиваться с дифференциальными уравнениями. Многие задачи механики, физики, химии и других отраслей науки и техники при их математическом моделировании сводится к решению дифференциальных уравнений. Обыкновенные дифференциальные уравнения или системы таких уравнений часто используется для построения математических моделей динамических процессов, т.е. процессов перехода физических систем из одного состояния в другое, бесконечно близкое. Примерами таких процессов могут служить явления, возникающие в теплосетях, распространение радиоволн, сопротивления материалов, движение материальных точек и многое другое. Точные методы решения дифференциальных уравнений, изучаемые в курсе дифференциальных уравнений, позволяют выразить решения через элементарные или специальные формулы. Однако классы уравнений, для которых разработаны точные методы решения, довольно узки и охватывают только малую часть возникающих на практике задач. В силу этого большое значение имеют приближенные численные методы решения, ориентированные на широкий класс, встречающихся в практике дифференциальных уравнений.

 Напомним предварительно некоторые определения.

Обыкновенным дифференциальными уравнениями называют такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от исходной формулы y=f(x). Их можно записать в виде:

                                                                                              (12.1)

где x- независимая переменная.

Наивысший порядок n, входящий в уравнение (12.1) называется порядком дифференциального уравнения.

Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, линейное относительно искомой формулы и ее производных.

Решением дифференциального уравнения (12.1) называется всякая функция , которая после ее подстановки в уравнение превращает его в тождество.

Решить дифференциальное уравнение - значит найти его общий интеграл. Под общим интегралом понимается соотношение между независимой переменной, зависимой переменной и произвольными постоянными, число которых равно порядку дифференциального уравнения. Общее решение (или общий интеграл) уравнения имеет вид:

                                                                                                    (12.2)

Задача Коши

Задачу Коши можно сформулировать следующим образом: пусть дано дифференциальное уравнение

    (12.3)

и начальное условие:

                                                                                                         (12.4)

Требуется найти функцию y(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.

Поскольку численное решение задачи Коши применяется в различных областях науки и техники, то оно в течение многих лет было объектом пристального внимания и число разработанных для него методов очень велико.

Остановимся здесь на двух группах методов решения задачи Коши:

1.Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой y=f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге: метод Эйлера, методы Рунге - Кутта.

2.Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскивания следующей точки кривой y=f(x) требуется информация более чем об одной из предыдущих точек: метод Адамса