Общая характеристика одношаговых методов

1. Чтобы получить информацию в новой точке, надо иметь данные лишь в одной предыдущей точке. Это свойство можно назвать «самостартованием».

2. Все одношаговые методы не требуют действительного вычисления производных - вычисляется лишь сама функция, однако могут потребоваться ее значения в нескольких промежуточных точках. Это влечет за собой, конечно, дополнительные затраты времени и усилий.

3. Свойство «самостартования» позволяет легко менять величину шага h. 

Методы прогноза и коррекции

Для вычисления значения y_i+1 используются результаты не одного, а k предыдущих шагов, т.е. значения . В этом случае получается k - шаговый метод.

Многошаговые методы могут быть построены следующим образом. Запишем исходное уравнение (12.3) в виде:

                                                                                               (12.9)

Проинтегрируем обе части этого уравнения по x на отрезке (x_i, x_i+1). Интеграл от левой части вычисляется легко:

                                                              (12.10)

Для    вычисления интеграла от   правой части   уравнения  (12.9)   строится    сначала интерполяционный многочлен P_k-1(x) степени k-1 для аппроксимации функции f(x,y) на отрезке [x_i, x_i+1] по значениям

.

После этого можно записать

                                      (12.11)

Приравнивая  выражения, полученные  в  (12.10)  и  (12.11),  можно  получить  формулу для определения неизвестного значения сеточной функции y_i+1 в узле x_i+1:

                                                                                                           (12.12)

На основе этой формулы можно строить различные многошаговые методы любого порядка точности. Порядок точности зависит от степени интерполяционного многочлена P_k-1(x), для построения которого используются значения сеточной функции , вычисленные на k предыдущих шагах.

Метод Адамса

Широко распространенным семейством многошаговых методов являются методы Адамса. Простейший из них, получающийся при k=1, совпадает с рассмотренным ранее методом Эйлера первого порядка точности. В практических расчетах чаще всего используется вариант метода Адамса, имеющий четвертый порядок точности и использовавший на каждом шаге результаты предыдущих четырех. Именно его и называют обычно методом Адамса.

Пусть найдены значения  в четырех последовательных узлах (k=4). При этом имеются также вычисленные ранее значения правой части . В качестве интерпретации многочлена P₃ (x)можно взять многочлен Ньютона. В случае постоянного шага h конечные разности  в узле x_i имеют вид:

тогда разностная сумма четвертого порядка метода Адамса запишется в виде:

                                                               (12.13)

Сравнивая метод Адамса с методом Рунге - Кутты той же точности, отмечаем его экономичность, поскольку он требует вычисления лишь одного значения правой части на каждом шаге (метод Рунге - Кутты - четырех). Но метод Адамса неудобен тем, что невозможно начать счет лишь по известному значению y₀. Расчет может быть начат лишь с узла x₃. Значения  необходимые для вычисления y₃, нужно получить каким-либо другим способом (например, методом Рунге - Кутты), что существенно усложняет алгоритм. Метод Адамса не позволяет (без усложнения формул) изменить шаг h  в процессе счета; этого недостатка лишены одношаговые методы.