8)Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

теорема Пуассона

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании стремится к нулю (р → 0) при неограниченном увеличении числа n испытаний (n → ∞), причем произведение np стремится к постоянному числу λ (np → λ), то вероятность Рm,n того, что со-бытие А появится m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству:

формула Пуассона для маловероятных событий:

Если вероятность р — постоянна и мала, число испытаний n — велико и число λ = nр — незначительно (будем полагать, что λ = nр < 10), то из предельного равенства вытекает приближенная формула Пуассона:

Локальная теорема Муавра – Лапласа.

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Рmn того, что событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна:

где – функция Гаусса и

Приближенные значения вероятности Рmn, задаваемые локальной формулой, на практике используются как точные при условии npq > 20.

Значения функции Гаусса приведены в табл. I приложений.

1. Функция f(x) является четной, т.е. f(-x) = f(х).

2.Функция f(x) – монотонно убывающая при положительных значениях х, причем при х → ∞ f(x) → 0 (практически можно считать, что уже при х > 4 f(x) ≈ 0.

Интегральная теорема Муавра—Лапласа.

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от а до b (включительно), при достаточно боль-шом числе n приближенно равна:

где - функция Лапласа (интеграл вероятностей);

При выполнении условия npq > 20 интегральная формула дает, как правило, удовлетворительную для практики погреш-ность вычисления вероятностей.

Значения функции Лапласа приведены в табл. II приложений.

1. Функция Ф(x) является нечетной, т.е. Ф(-x) = - Ф(х).

2. Функция Ф(x) – монотонно возрастающая, причем при х → ∞ Ф(x) → 1, практически можно считать, что уже при х > 4 Ф(x) ≈ 1.

Следствия.

Если вероятность р наступления события А в каждом испыта-нии постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что:

а) число m наступлений события А отличается от произведения nр не более, чем на величину ε > 0 (по абсолютной величине):

б) частость m /n события А заключена в пределах от α до β(включительно):

в) частость m /n события А отличается от его вероятности р не более, чем на величину Δ > 0 (по абсолютной величине):