24)Общая характеристика систем массового обслуживания. Потоки событий.

Теория массового обслуживания - раздел теории вероятностей, целью исследований которого является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящие из нее, длительности ожидания и длины очередей.

Агнер Краруп Эрланг — датский математик, статистик и инженер, основатель научного направления по изучению трафика в телекоммуникационных системах и теории массового обслуживания

Задача теории массового обслуживания – установление математических зависимостей между характеристиками потока требований на обслуживание, производи-тельностью одиночного средства обслуживания, их количеством и показателем эффективности системы обслуживания в целом.

Системой массового обслуживания (обслуживающей системой), называется совокупность каналов обслуживания, а также очередь, если она допустима.

Последовательность различных событий в системе называют потоком.

В СМО различают следующие потоки:

1)входящий - последовательность нуждающихся в обслуживании и поступающих в обслуживающую систему заявок;

2)выходящий обслуженных заявок - последовательность заявок на выходе системы, получивших обслуживание;

3)выходящий необслуженных заявок - последовательность заявок на выходе системы, получивших отказ в обслуживании.

Смо:

1)смо с отказами

2)смо с ожиданием

а)смо с ограничением времени ожидания

б)смо с ограниченной длиной очереди

дополнительные:1)дисциплина обслуживания(заявки могут обслуживаться либо в порядке поступления, либо в случайном порядке)

а)в порядке поступления

б)в случайном порядке

2)обслуживание с приоритетом(некоторые заявки обслуживаются вне очереди)

а)абсолютный(заявка с более высоким приоритетом "вытесняет" из-под обслуживания заявку с низшим)

б)относительный(заявка с более высоким приоритетом занимает лучшее место в очереди)

3)смо с многофазовым обслуживанием(состоят из нескольких последовательных этапов)

4)смо открытые и замкнутые(в открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от состояния самой системы (числа занятых каналов), а в замкнутой СМО – зависят)

характеристика потока событий:

Интенсивность потока событий λ - среднее число событий, появляющихся за единицу времени.

1)Если λ = λ (t) = const, т.е. интенсивность событий не зависит от времени, то поток принято называть стационарным.

2)Поток событий называют ординарным, если за сколь угодно малый отрезок времени вероятность появления одного события гораздо больше вероятности появления двух и более.

3)Если в потоке вероятность появления некоторого числа событий за фиксированный промежуток времени не зависит от числа наступивших в любой другой не пересекающийся с данным, промежутком времени, то он называется потоком без последействия.

Если поток событий одновременно стационарен,ординарен и без последействия, то его называют простейшим или стационарным пуассоновским, а при отсутствии стационарности, соответственно, - нестационарным пуассоновским.

Вероятность наступления ровно κ событий (κ =1,2,…, n) за время τ подчиняется закону Пуассона:

где α = α (τ) = λ τ – математическое ожидание числа событий за время τ для простейшего потока;

• для нестационарного пуассоновского потока

Вероятность того, что отрезок Δt = τ/n «занят», – λΔt ≈ λτ/n; Вероятность того, что отрезок Δt = τ/n «свободен», – 1 − λτ/n

(чем меньше Δt, тем точнее равенства).

Число занятых элементарных отрезков, т.е. число X событий на всем временном промежутке τ, можно рассматривать как случайную величину, имеющую биномиальный закон распределения *:

с параметрами n и р = λτ/n .

ХАРАКТЕРНЫЕ ЧЕРТЫ ПРОСТЕЙШЕГО ПОТОКА

1)СМО с простейшими потоками имеет наиболее простое математическое описание;

2)Предельное свойство простейшего потока:При наложении (суперпозиции) достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивности) получается поток близкий к простейшему, с интенсивностью, равной сумме интенсивностей входящих потоков.

3)"Граничное свойство" простейшего потока:Если созданная СМО обладает необходимыми характеристиками эффективности для простейших потоков, то и для других потоков она будет функционировать с не меньшей эффективностью.

Временные показатели процесса обслуживания:

Показатели качества работы систем массового обслу-живания наряду с параметрами входящего потока во многом зависят от числа и работоспособности каналов обслуживания, порождающих простейший поток обслуженных заявок интенсивностью μ.

Время, затрачиваемое на обслуживание одной заявки (интервал Т между двумя произвольными соседними событиями стационарного пуассоновского потока), является случайной величиной, распределений по показательному (экспоненциальному) закону.

Плотность распределения описывается формулой:

Функция распределения равна:

Таким образом, интервал Т между двумя произвольными соседними событиями простейшего потока имеет показательное (экспоненциальное) распределение, для которого:

где - интенсивность потока обслуженных заявок(выходящего потока);

• среднее время обслуживания одной заявки.\

Абсолютной пропускной способностью СМО называют среднее число заявок, обслуживаемых системой за единицу времени.

Относительной пропускной способностью СМО называют отношение абсолютной пропускной способности к среднему числу заявок, поступающих на вход системы за ту же единицу времени.