39)Однофакторный дисперсионный анализ. Межгрупповая и внутри групповая вариации

Дисперсионный анализ ― статистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факто-ров на результат эксперимента, а также для последую-щего планирования аналогичных экспериментов.

Однофакторная дисперсионная модель имеет вид:

х_ij = μ + F_i + ε_ij,

где х_ij – значение исследуемой переменной, полученной на i-м уровне фактора * (i = 1,2, ..., n) с j-м порядковым номе-ром ( j = 1,2, ..., m);

μ – общая средняя;

F_i – эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора;

ε_ij – случайная компонента, или возмущение, вызванное влиянием неконтролируемых факторов, т.е. вариацией переменной внутри отдельного уровня.

Основные предпосылки дисперсионного анализа:

1)Математическое ожидание возмущения ε_ij равно нулю для любых i, т.е.

M (ε_ij ) = 0.

2. Возмущения ε_ij взаимно независимы.

3. Дисперсия возмущения ε_ij (или переменной x_ij) постоянна для любых i, j, т.е.

D(ε_ij ) = σ².

4. Возмущение ε_ij (или переменная x_ij) имеет нормальный закон распределения

N(0, σ²).

5. Если ряд состоит из нескольких групп наблюдений, то общая дисперсия равна сумме средней арифметической групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии:

где

— общая дисперсия (дисперсия всего ряда);

— средняя арифметическая

групповых

дисперси

— межгрупповая дисперсия.

В дисперсионном анализе анализируются не сами суммы квадратов отклонений, а так называемые средние квадраты, являющиеся несмещенными оценками соответствующих дисперсий, которые получаются делением сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы:

схема дисперсионного анализа