22)Марковские случайные процессы.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями,если его возможные состояния S₁, S₂, S₃, … можно заранее перечислить, а переход системы из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком).

Процесс называется процессом с непрерывным време-нем, если моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.

Случайный процесс, протекающий в некоторой системе S с возможными состояниями S₁, S₂, S₃, … называется марковским или случайным процессом без последействия, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в будущем (при t > t₀) зависят только от его состояния в данный момент t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние, т.е. не зависят от поведения в прошлом (при t < t₀).Случайный процесс, протекающий в некоторой системе S с возможными состояниями S₁, S₂, S₃, … называется марковским или случайным процессом без последействия, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в будущем (при t > t₀) зависят только от его состояния в данный момент t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние, т.е. не зависят от поведения в прошлом (при t < t₀).

Рассмотрим две модели марковских процессов:

— марковские случайные процессы с дискретными состояниями и дискретным временем (цепи Маркова);

— марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Пример марковского процесса — счетчик в такси.

Пример приближенно марковского процесса — игра в шахматы.

Марковским случайным процессом с дискретными состояниями и дискретным временем (цепью Маркова) называется марковский процесс, в котором его возможные состояния S₁, S₂, S₃, … можно заранее пересчитать, а переход из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком), но только в опре-деленные моменты времени t₁, t₂, t₃,…, называемые шагами процесса.

Геометрическая модель случайных процессов с дискретными состояниями – граф состояний (неразмеченный и размеченный),

где p_ij – вероятность перехода случайного процесса из состояния i в состояние j.

Если вероятности p_ij не зависят от номера шага случайного процесса то такая цепь Маркова называется однородной.

равенство Маркова позволяет для однородной цепи по p_ij определить p_ij (n):

Марковским случайным процессом с дискретными состояниями и непрерывным временем называется марковский процесс, в котором в отличие от рассмотренной выше цепей Маркова, моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.

Геометрическую модель марковского процесса пред-ставим в виде графа,в кото-ром состояния (вершины) объединены между собой связями (переходами из i-го состояния в j-е состояние.

Переход из i-го состояния в j-е происходит в случайные моменты времени, которые определяются интенсивностью перехода λ_ij:

Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.

ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОТОКА СОБЫТИЙ

Интенсивность потока событий λ_ij – среднее число событий, появляющихся за единицу времени.

1)Если λ_ij = λ_ij (t) = const, т.е. интенсивность событий не зависит от времени, то поток принято называть стационарным.

2)Поток событий называют ординарным, если за сколь угодно малый отрезок времени вероятность появления одного события гораздо больше вероятности появления двух и более.

3)Если в потоке вероятность появления некоторого числа событий за фиксированный промежуток времени не зависит от числа наступивших в любой другой не пересекающийся с данным, промежутком времени, то он называется потоком без последействия.

Если поток событий одновременно стационарен, ординарен и без последействия, то его называют простейшим.