21)Случайные процессы и их характеристики.

ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ — это раздел математической науки, изучающий закономерности случайных явлений в динамике их развития.

Процесс — последовательная смена состояний объекта во времени.

Случайным процессом X(t) называется процесс, значение которого при любом значении аргумента t является случайной величиной.

Другими словами, случайный процесс представляет собой случайную функцию, которая в результате испытания может принять тот или иной конкретный вид, неизвестный заранее.

Аналогично тому,как случайная величина была представлена в виде функции элементарного события ,появляющегося в результате испытания,случаный процесс можно представить в виде функции двух переменных

где

Случайный процесс (случайная функция) в теории вероятностей называется семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.

Случайной функцией называется параметризованное семейство случайных величин на вероятностном пространстве * , где T произвольное множество.

Если T R, то параметр может интерпретироваться как время, и тогда случайная функция { X_t } называется случайным процессом.

Если множество T дискретно, например T N , то такой случайный процесс называется случайной последовательностью.

Случайным процессом X(t,ω) называется процесс, значение которого при любом значении аргумента t является случайной величиной.

При фиксированном t = t₀ случайный процесс X(t₀,ω) представляет собой обычную случайную величину, т.е. сечение случайного процесса в момент t₀ .

Реализацией случайного процесса X(t,ω) называется неслучайная функция X(t,ω), в которую превращается случайный процесс X(t,ω) в результате испытания (при фиксированном ω), т.е. конкретный вид, принимаемый случайным процессом X(t,ω), его траектория.

Таким образом, случайный процесс X(t,ω) совмещает в себе черты и функции, и случайной величины.

Если зафиксировать ω, то в результате каждого испытания он превращается в обычную неслучайную функцию, если зафиксировать значение аргумента t – случайный процесс превращается в обычную случайную величину.

Случайный процесс X(t,ω) представляет собой совокупность всех сечений при всевозможных значениях t, поэтому для его описания необходимо рассматривать многомерную случайную величину (X(t₁,ω), X(t₂,ω),..., X(t_n,ω)), состоящую из всех сечений этого процесса.

В силу непрерывности параметра t таких сечений принципе бесконечно много,но для описания конкретного случайного процесса часто удается обойтись относительно небольшим количеством сечений.

Говорят, что случайный процесс имеет порядок n, если он полностью определяется плотностью n - мерной случайной вели-чины (X(t₁,ω), X(t₂,ω),..., X(t_n,ω)), где X(t_i,ω)) – сечение случайного процесса X(t,ω) в момент времени t_i (i = 1, 2, ..., n).

Математическим ожиданием случайного процесса X(t,ω) называется неслучайная функция a_х(t), которая при любом значении переменной t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса X(t,ω), т. е. a_х(t) = M [X(t,ω)].

Дисперсией случайного процесса X(t,ω) называется не-случайная функция D_х(t), при любом значении переменной t равная дисперсии соответствующего сечения случайного процесса X(t,ω), т.е. D_х(t), = D [X(t,ω)].

Средним квадратическим отклонением σ_x(t) случайного процесса X(t,ω) называется арифметическое значение корня квадратного из его дисперсии, т.е.

Математическое ожидание случайного процесса характеризует среднюю траекторию всех возможных его реализаций, а его дисперсия и среднее квадратическое отклонение – разброс реализаций относительно средней траектории.

Корреляционной функцией случайного процесса X(t,ω) (или просто X(t)) называется неслучайная функция двух переменных t₁ и t₂

К_х(t₁,t₂) = М[(X(t₁) - a_x(t₁)) · (X(t₂) - a_x(t₂))],

которая при каждой паре t₁ и t₂ равна ковариации соответствующих сечений X(t₁,ω) и X(t₂,ω) случайного процесса.

Корреляционная функция К_х(t₁,t₂) характеризует не только степень тесноты линейной зависимости между двумя сечениями, но и разброс этих сечений относительно математического ожидания a_x(t).

Нормированной корреляционной функцией случайного процесса X(t,ω) называется функция