41)Основные положения регрессионного анализа.

Основной задачей регрессионного анализа – установление формы зависимости между переменными, оценка функции регрессии, оценка неизвестных значений (прогноз значений) зависимой переменной.

1)функциональная зависимость

2)корреляционная

3)статистическая

зависимость между переменными X и Y называется функциональной, когда каждому значению х одной переменной соответствует строго определенное значение у другой.

зависимость между двумя случайными величинами X и Y называется вероятностной (стохастической или статистической), если каждому значению одной из них соответствует определенное (условное) распределение другой.

Статистическая зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению одной переменной соответствует определенное условное матем. ожидание (среднее значение) другой, называется корреляционной.

Корреляционная зависимость может быть представлена в виде:

Эти уравнения называются модельными уравнениями регрессии (или просто уравнениями регрессии) соответственно Y пo Х и Х по Y, функции φ(х) и ψ (у) – модельными функциями регрессии (или функциями регрессии), а их графики – модельными линиями регрессии (или линиями регрессии).

Для отыскания модельных уравнений регрессии необходимо знать закон распределения двумерной случайной величины (X,Y).

Такой наилучшей (в смысле метода наименьших квадратов) оценкой является выборочная линия (кривая) регрессии Y по Х

где у_х – условная (групповая) средняя переменной Y при фиксированном значении переменной Х = х, b₀, b₁, …, b_k – параметры кривой.

Аналогично определяется выборочная линия (кривая) регрессии Х по Y:

где xy – условная (групповая) средняя переменной X при фиксированном значении переменной Y = y, c₀, c₁, …, c_k – параметры кривой.

Для частного случая линейного регрессионного анализа:

И если для оценки параметров линейной функции регрессии взята выборка из n пар значений переменных (х_i, y_i), где i =1 ч n, то в этом случае линейная парная регрессионная модель имеет вид:

ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА:

1. В модели возмущение ε_i (или зависимая переменная y_i) есть величина случайная, а объясняющая переменная x_i — величина неслучайная .

2. Математическое ожидание возмущения ε_i равно нулю:

М ( ε_i )=0 ( или M (y_i) = b₀ + b₁ x_i ).

3. Дисперсия возмущения ε_i (или зависимой переменной y_i) постоянна :

D (ε_i ) = σ² ( или D (y_i ) = σ² ).

4. Возмущения ε_i и ε_j (или переменные y_i и y_j) не коррелированны:

М (ε_i,ε_j ) = 0 ( i ≠ j ).

5. Возмущение ε_i ( или зависимая переменная y_i ) есть нормально распределенная случайная величина .