31)Понятие об оценке параметров. Характеристики оценок.

пусть распределение признака X — генеральной совокупности —задается функцией вероятностей P(X = x_i,θ) (для дискретной случайной величины X) или плотностью вероятности – f (x_i,θ) (для непрерывной случайной величины X), которая содержит неизвестный параметр θ.

Оценкой параметра θ называют всякую функцию резуль-татов наблюдений над случайной величиной X (иначе – статис-тику), с помощью которой судят о значении параметра θ :

Оценка (в отличие от оцениваемого параметра θ – величины не-случайной) является случайной величиной, зависящей от закона распределения случайной величины X и числа n.

Например, если параметр θ является матем. ожиданием случайной величины X, т.е. генеральной средней , то в качестве его оценки по выборке можно взять: выборочную среднюю , моду медиану и т.д.

Средняя

дисперсия

доля

Назвать «наилучшей» оценкой такую, которая наиболее близка к истинному значению оцениваемого параметра, невозможно, так – случайная величина, и предсказать ее индивидуальное значение оценки в частном случае невозможно.

Так что о качестве оценки следует судить не по индивидуальным ее значениям, а лишь по распределению ее значений в большой числе испытаний, т.е. по выборочному распределению оценки.

Поэтому, чтобы значение было близко к , надо потребовать, чтобы рассеяние случайной величины

относительно было по возможности меньшим.

Оценка параметра θ называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е.

В противном случае оценка называется смещенной.

Если это равенство не выполняется, то оценка , полученная по разным выборкам, будет в среднем либо завышать значение θ (если M( ) > θ), либо занижать его (если M( ) < θ).

Таким образом, требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

Если при конечном объеме выборки n т.е. смещение оценки но то такая оценка

называется асимптотически несмещенной.

Оценка параметра θ называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вероят-ности к оцениваемому параметру.

Несмещенная оценка параметра θ называется эффектив-ной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра θ, вычисленных по выборкам одного и того же объема n.

Эффективность оценки определяют отношением:

где и – соответственно дисперсии эффективной и

данной оценок.

Чем ближе e к 1, тем эффективнее оценка.

Если при то такая оценка называется асимптотически эффективной.

или

В случае использования состоятельных оценок оправдывается увеличение объема выборки, так как при этом становятся маловероятными значительные ошибки при оценивании, т.е при

достаточно большом n

Практический смысл имеют только состоятельные оценки.

Если оценка параметра θ является несмещенной, а ее дисперсия при то она является и состоятельной, что непосредственно вытекает

из неравенства Чебышева:

В качестве статистических оценок параметров генеральной совокупности желательно использовать оценки, удовлетворяющие одновременно требованиям несмещенности, состоятельности и эффективности.

Однако достичь этого удается не всегда.

32)Методы нахождения оценок: метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов.

33)Оценка генеральной доли, генеральной средней и генеральной дисперсии.

34)Понятие об интервальной оценке параметров. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Объем выборки.

35)Понятие статистической гипотезы и общая схема ее проверки.

36)Проверка гипотез о равенстве средних и дисперсий двух совокупностей.

37)Проверка гипотез о законе распределения выборки.

38)Проверка гипотез об однородности выборок.

ГИПОТЕЗЫ ОБ ОДНОРОДНОСТИ ВЫБОРОК − это гипотезы о том, что рассматриваемые выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности.

Пусть имеются две независимые выборки, произведенные из генеральных совокупностей с неизвестными теоретическими функциями распределения F₁(x) и F₂(x).

Проверяемая нулевая гипотеза Н₀ : F₁(x) = F₂(x)

Конкурирующая гипотеза Н₁ : F₁(x) ≠ F₂(x).

Будем полагать, что функции F₁(x) и F₂(x) непрерывны.

Для решения поставленной задачи используется критерий Колмогорова – Смирнова сравнения двух эмпирических функции распределения.

Статистика критерия Колмогорова – Смирнова:

где и – эмпирические функции распределения, построенные по двум выборкам объемов n₁ и n₂.

Гипотеза Н₀ отвергается, если фактически наблюдаемое значение статистики больше критического , т.е. , и принимается в противном случае.

Принцип проверки статистической гипотезы не дает логического доказательства ее верности или неверности.

Принятие гипотезы Н₀ в сравнении с альтернативной Н₁ не означает, что мы уверены в абсолютной правильности Н₀ или что высказанное в гипотезе Н₀ утверждение является наилучшим, единственно подходящим; просто гипотеза Н₀ не противоречит имеющимся у нас выборочным данным, таким же свойством наряду с Н₀ могут обладать и другие гипотезы.

Более того, возможно, что при увеличении объема выборки n либо при испытании Н₀ против другой альтернативной гипотезы Н₂ гипотеза Н₀ будет отвергнута.

Так что принятие гипотезы Н₀ следует расценивать не как раз и навсегда установленный, абсолютно верный содержащийся в ней факт, а лишь как достаточно правдоподобное, не противоречащее опыту утверждение.