16)Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения.

Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова.

Теорема Ляпунова.

Если Х1, X2, ..., Хn − независимые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание M(Xi) = a i, дисперсия D(Xi) = , абсолютный центральный момент третьего порядка

а также

то закон распределения суммы Yn = Х1 + X2 + ... + Хn при n → ∞ неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием

и дисперсией

удельный вес каждого отдельного слагаемого должен стремиться к нулю при увеличении числа слагаемых.

Следствие теоремы Ляпунова.

Если Х1, Х2, ..., Хn − независимые случайные величины, у которых существуют равные математические ожидания M(Xi) = a, дисперсии D(Xi)= σ² и абсолютные центральные моменты третьего порядка

то закон распределения суммы Yn = Х1 + X2 + ... + Хn при n → ∞ неограниченно приближается к нормальному закону.

В частности, если все случайные величины Хi одинаково распределены, то закон распределения их суммы неограниченно приближается к нормальному закону при n → ∞.

Если сложить шесть таких случайных величин, то получится случайная величина с плотностью вероятности, практически не отличающейся от нормальной.

если сумма при n → ∞ всегда имеет нормальный закон распределения, то скорость сходимости к нему существенно зависит от типа распределения ее слагаемых.

Распределением (хи-квадрат) с k степенями свободы называется рас-пределение суммы квадратов k независимых случайных величин, распреде-ленных по стандартному нормальному закону, т.е.

где Zi (i = 1, 2, ..., k) имеет распределение N(0;1).