19)Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения.

Условным законом распределения одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины (X,Y) называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая составляющая приняла определенное значение (или попала в какой-то интервал).

Для дискретных случайных величин:

для непрерывных случайных величин:

т.е. условная плотность вероятности одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины равна отношению ее совместной плотности к плотности вероятности другой составляющей.

Данные соотношения записанные в виде

называются теоремой умножения плотностей распределений.

Кроме того

Случайные величины X и Y называются независимыми, если их совместная функция распределения F (x,y) представляется в виде произведения функций распределений F1 (x) и F2 (y) этих случайных величин, т.е.

F (x,y) = F1 (x)·F2 (y).

В противном случае, при невыполнении этого равенства, случайные величины Х и Y называются зависимыми.

Две случайные величины Х и Y называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина.

В противном случае случайные величины Х и Y называются зависимыми.

Дифференцируя дважды данное равенство по аргументам х и у, получим

f (x,y) = f1 (х)·f2 (у),

т.е. для независимых непрерывных случайных величин X и Y их совместная плотность f (x,y) равна произведению плотностей вероят-ности f1 (х) и f2 (у) этих случайных величин.

Таким образом (теорема умножения плотностей распределений), независимость двух случайных величин X и Y означает, что условные плотности вероятности каждой из них совпадают с соответствующими «безусловными» плотностями, т.е.

fy (х) = f1 (х) и fx (у) = f2 (у).